阅读与思考 对数的发明第二课时教学设计

【课题】

2.2.1 对数

【教材】人教A版普通高中数学必修一第62页至第64页

【课时安排】第一课时 【教学对象】高一13班学生 【授课教师】罗文力

【教材分析】

一．

教学分析设计

【教材分析】

本节课的主要内容包括对数的概念、对数与指数的互化和对数的运算性质，这是学生学习对数函数的基础.教材借助例题中的指数函数，由“已知底数和幂的值，求指数”直接引出对数的概念。这种引入方式虽然直截了当地指出指数和对数的互逆关系，但是对于大部分学生而言太过于抽象，学生难以通过定义了解对数是如何计算和它最初是如何被发明的，也就很难体会到对数强大的简化运算的功能，以及引入对数的必要性. 【学情分析】

（一）教学有利因素：

认知基础：学生已经学习了指数及指数函数的值域、单调性等知识，以及加法和减法、乘法和除法、乘方和开方之间的互逆关系，因此可以较为容易地接受指数与对数的互逆关系，并由此得到对数的概念;

（二）教学不利因素：

认知障碍：用对数符号来表示指数x；

【教学目标与分析】

目标分析

•结果性目标：

1.理解对数的概念，能说明对数与指数的关系；

2.掌握指数式与对数式的互化, 了解对数恒等式；

•体验性目标：

1.经历对数概念的提出过程，感受引入对数的必要性，领悟对数强大的简化运算的功能，同时学习将乘除、乘方开方转化为指数的加减乘除运算的化归思想；

2.通过类比减法、除法、开方运算学习对数概念的过程，学习类比思想和垂直数学化的思想；

【教学重点】对数的概念、对数式与指数式的互化；

【教学难点】对数概念的理解

【教学方法】问题驱动、引导探究

【媒体分析】

教学媒体

媒体作用

PPT、投影

展示概念与本节课的教学内容

黑板

板书核心概念、学生解决问题结果、课堂小结的要点等

二．

教学实施设计

【教学环节】

教学

环节

创设情境

教学活动

学生活动

设计意图

问题1：请计算下列式子的值（不使用计算

器）：

（1）32256

（2）4096128

计算并发表感受（计算35（3）16

（4）32768

量大）

历史上，科学家也曾经遇到相同的问题！

通过一组运算量较大的计算题使学生产生认知障碍，结合对数产生的历史背景，让学生体会到现【背景介绍】

实生活对数学

在16世纪，随着哥白尼“日心说”的盛

发展的推动作行，天文学也蓬勃发展。欧洲人渐渐热衷于

地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要听教师讲解历史背景用，激发学生寻求新的运算更为精准的天文知识，需要对庞大的“天文并思考

方法的动力

数据”进行快速和准确的计算。但那个时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种运算方法提高运算效率！

【探究发现】

问题2：阅读下列材料，回答问题：

1714年，德国数学家斯蒂菲尔研究了下列的两行数：

0 1 7 128 14 16384 1 2 8 256 15 32768 2 4 9 512 3 8

10

11 12 13 1024 2048 4096 8192 4 16 5 32 6 64

建构

概念

学生思考并发现规律，在，教师引导下，利用发现的结论进行简化计算。

请思考：这两行数有怎样的规律？

归纳结论：若设第一行的数为n，则第二行的数为2n；

问题3：后来，英国数学家纳皮尔受到这个表格的启发，发现了可以利用这个规律来简便计算问题1中的题目！同学们，你们知道他是怎么做的吗？

在学生尚未形成对数的概念时，先给出一组比较特殊的数字，通过寻找规律并将其运用到化简计算的探究过程中，使学生初步体会到对数在化简复杂计算时的作用

建构

概念

引导学生给出简化算法：

13225625282582138192;240961282122721272532;3164532432432124096;1155

3276822238;155问题4：上面四个式子的运算方法有什么共同特点？

共同特点：把每一个要算的数转化为2x。这样一来，就可以将整数的乘法、除法、乘方、开方转化为对应指数的加减乘除，降低运算级数，起到简化运算的作用。

【变式思考】

问题5：把原来的第（1）问改成计算

132156，还能否使用同样的方法解决？

引导：要利用上述方法，就要看132和156能

否写成是2x的形式，由指数函数的图象和性

质知道：对于132和156，都存在唯一对应的

x1,x2的值使得2x1132,2x2156，

学生开始可能会质疑原来的方法不行，也可能想到利用非整数的指数幂，在教师的引导下，进一步思考

通过几何画板的动态展示，将132和156分别表示成2x，再用同样的方法即可解出近似解。

这给了当时的数学家一个重要启示: 如果制作出了足够多组数的表格，就可以利用它来计算类似的问题了。而历史上许多数学家为了这项工作奉献了毕生的精力。

对算式变形，激发学生继续思考的动力。使学生了解数学家在解决问题的过程中所做的努力，培养学生锲而不舍的探究精神和科学态度

建构

概念

【形成概念】

此法可推广到任何两个数的运算，并不

仅仅限于以2为底，比如计算132156，可

设132ax,156ay，则

132156axayaxy

这样化简运算的关键是：给定a（a0且

a1），对于每个N，把N写成是

Nax（a0且a1）

问题6：如何将Nax中的x准确的表示出

来？

观察并思考问题

问题7：观察数的运算的发展史，思考问题:

•已知axN，求x引入减法xNa；

N•已知axNa0，求x引入除法x；

a•已知xnN，求x引入开方xnN

•已知axN，求x引入什么x?

【定义概念】

一般地，若axN（a0且a1），那么数

，记作

学生聆听并思考

x叫做以a为底N的对数（logarithm）

通过观察数运算的发展规律，类比联想到提出新的概念来解决新的运算问题，引出对数的概念，揭示对数和指数的互逆关系，培养学生的类比思想

xlogaN，

其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 【概念解读】

1. 指数式和对数式是一个式子的两种变形

写法，是等价的，可以互化

名称

式子

a

x

N

解读

指数式

axN

底数

指数

幂值

概念

对数式

xlogaN

底数

对数

真数

问题8：为什么对数定义中要满足底数a0且a1？真数N是否有范围？

总结：零和负数没有对数！

学生思考并分析

通过对概念的解读，学生进一步加深对数概念的理解，明确指数与对数的互逆关系

【两个常见对数】

通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并记为log10NlgN.将以e为底的对数称为自然对数，记为logeNlnN.

巩固

应用

类型一：指数式与对数式互化

例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

1（1）54625；

（2）26；

64

m1（3）5.73；

（4）log1164；

32

学生思考并解答问题

（5）lg0.012；

（6）ln102.303；

类型二：求对数的值

例2.求下列对数的值：

（1）log28；（2）log93；

（3）loga1（a0且a1）；

（4）logaa（a0且a1）；

（5）logaan（a0且a1）；

类比

提升

的两次运算后，没有发生变化，还是原来的

数值。联系下列式子并类比：

加减法：abba,abba；

乘除法：；

abba,abba（b0）

n学生再次类比得出对乘方开方：nana,naaa0；

数恒等式

问题9：logaann，对n进行了指数与对数

根据桑代克的练习律和斯金纳的强化原理设计该练习，使学生熟练掌握对数式和指数式的互化，同时将对数的性质放到联系中，培养学生的归纳发现能力

指对数运算：logaann，alogan?；

问题10：从对数的定义解释alogaNN的合理性？

axNlogNaaN（a0且a1）

xlogaN

该环节通过对对数恒等式的解决，再次培养了学生的类比能力，加深对数与指数互逆关系的认识

知识拓展

小结

反思

作业布置

【背景介绍】

自从有了计算机，对数在简化计算上的作用已经大大降低，但是它在现实生活中的应用却仍然十分广泛：

在生物领域，用“半衰期”求生物死亡年数；

在化学领域，用对数测量溶液的pH值；

在物理领域，用对数测量声音的分贝；

在地理领域，用对数计算地震强度；

【科学家对对数的高度评价】

（对数）用缩短计算时间延长了天文学家的寿命。

——拉普拉斯

给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙。

——伽利略

对数的发明与解析几何的建立、微积分的建立是17世纪数学史上的三大成就。

——恩格斯

【数学知识】

1.

对数的概念；

2.

对数的性质；

【数学思想方法】

特殊到一般、类比、化归；

1.

上网搜索了解对数的发展史；

2.

课本练习题P64第1,2,3,题.

学生聆听

通过介绍对数在实际生活中的广泛应用以及科学家对对数的高度评价，使学生了解对数的科学价值和应用价值

学生回顾学习过程并总结

学生课下自行解答

小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程，学习数学思想

作业意在使学生进一步熟悉对数的概念及指数和对数的互化

【板书设计】

2.2.1《对数（一）》

一、引入

二、对数的概念

【教学反思】

三、例题讲解

学生板书例题解答过程

四、小结反思

1．知识

2．思想方法