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函数的性质小结教学设计

最新考纲

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

知

识

梳

理

1.函数的奇偶性

奇偶性

偶函数

定义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

图象特点

关于y轴对称

奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [常用结论与微点提醒] 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝1，则T＝2a(a>0). f（x）

(3)若f(x＋a)＝－1，则T＝2a(a>0). f（x）诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(

) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(

) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期. (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(

) 2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(

) A.y＝x2sin x

C.y＝|ln x|

B.y＝x2cos x

D.y＝2－x

3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(

) 1A.－3

1B.3

1C.2

1D.－2

4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝2－4x＋2，－1≤x<0，3则f

2＝________. x，0≤x<1，5.(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

考点一

函数的奇偶性

【例1】

(1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.

(2)判断下列函数的奇偶性：

①f(x)＝3－x2＋x2－3；

lg（1－x2）②f(x)＝；

|x－2|－22x＋x，x<0，③f(x)＝2

－x＋x，x>0.规律方法

1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.

2.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. 【训练1】

(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

) A.y＝x＋sin 2x

1C.y＝2x＋2x

B.y＝x2－cos x

D.y＝x2＋sin x

x3－a（x≥0），(2)(2018·淄博诊断)已知奇函数f(x)＝

则f(－2)的值等于g（x）（x<0），________. 考点二

函数的周期性及其应用

【例2】

(1)(2018·绵阳月考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当50

－2＋f(2)＝________. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－＝x，则f(105.5)＝______. 规律方法

1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

2.若f(x＋a)＝－1(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期. f（x）1，当2≤x≤3时，f(x)f（x）【训练2】

(2016·山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当111－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>2时，f

x＋2＝f

x－2.则f(6)＝(

) A.－2

B.－1

C.0

D.2 考点三

函数性质的综合运用(多维探究) 命题角度1

函数单调性与奇偶性

【例3－1】

(1)(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(

) A.a

B.c

C.b

D.b

1，则使得f(x)＞f(2x－1)成立1＋x2(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－的x的取值范围是________. 命题角度2

函数的奇偶性与周期性

【例3－2】

(1)(2017·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝A.(－1，4)

C.(－1，0)

2a－3，则实数a的取值范围为(

) a＋1

B.(－2，0) D.(－1，2) (2)(2018·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析x（1－x），0≤x≤1，2941式为f(x)＝

则f

4＋f

6＝________. sin πx，1

1.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

2.掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).(2)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 【训练3】

(1)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)ax＋1，－1≤x<0，13＝bx＋2其中a，b∈R.若f2＝f2，则a＋3b的值为________. x＋1，0≤x≤1，

(2)(2018·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(

) A.f(2)>f(3)

C.f(3)>f(5)

B.f(2)>f(5) D.f(3)>f(6)