实习作业第二课时教学设计

<<均值不等式>>教案

（教材：《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修（5）第三章第四节）

教学内容

地位与作用

教

材

分

析

本节课《均值不等式》是《数学必修五（人B教版）》第三章第二节的内容。均值不等式是高中数学的重要内容，是不等式的补充，是我们进一步学习数学和其他学科的《均值不等式》教材：《普通高中基础和根据。就应用价值来看均值课程标准实验教科书》（人教A版）不等式在求最值问题中起到了工具数学必修（5）第三章第四节）的内性作用,是研究数量大小关系的必容，教学大纲安排本节内容授课时备知识。就内容的人文价值上来看，间为两课时，本节课作为第一课均值不等式探究与推导需要学生观时，重在研究公式的推导过程及公察、分析、归纳、猜想，有助于培式的简单应用。

养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体，是学生以后学习工作中必备的数学素养。

1.认知方面：学生已掌握不等式的定义及运用，在此基础上学习均值不等式，学生就容易掌握均值等不等式。

学

情

分

析

2认知水平与能力：高二学生已经初步具有解决问题和合作探究的能力，能在教师的引导下独立和合作地解决一些问题，但在对知识的思维严密性和整合能力还需要加强。

3.情感方面：通过对公式的推导和探索，激发学的求知欲，带来自信和成就感，建立学生对数学学习的信心，并感受公式的简洁美和严谨美。

通过均值不等式的情景引入增加了学生的学科综合的能力。

第1页

教

学

目

标

1、知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解它的几何意义，并掌握定理使用的限制和等号取到的条件。

2、过程与方法：探究均值不等式，用均值不等式解决一些简单问题，增强学生观察、归纳、抽象、概括的能力，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，并利用数形结合的思想验证均值不等式。

3、态度情感与价值观：培养学生严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

教

学

重

点

教学

难点

应用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索均值不等式abab的推导过程及应用均值不等式的证明和取等号的条件。

21、均值不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用均值不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教学方法

通过探究、观察、归纳、抽象、总结出均值不等式；启发诱导、讲练结合的教学方法

教学过程

教学

手段

多媒体课件

教学

环节

教学内容

有顾客到一珠宝店买珠宝，回家一称

发现重量有问题，于是向工商局投

师生互动

生：相互讨论理解故事的数学含义.

师：展示图片引导学生分析归纳将实际问题数学化.

设计意图

讲述故事，展示图片，激发学生的学习兴趣,使学生认识到数学和现实生活紧密联系,体验数学来源于生活，应用于生活

情

景

导

入

诉。工商局派人去调查，商人承认他用的是左右两臂长短有差异的天平，他向顾客提出一个调解方案：左右各称一次,将两次所称重量相加除以2作为物品的实际重量。如果你是购买者，你接受他的方案吗？

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探

问题1：设两次称得的重量为a和b，你能求出它的真实重量m吗？

生：根据杠杆原理列出两次称量得到的方程，求出物体的真实质量mab

；将第二个问题转化为比较ab与2渗透学科之间ab的大小，并的相互关系，

究

新

知

讨论其证明

让学生感受到师：引导学生用数学不是单一

问题2：法官是否公平？

杠杆原理列出对存在的。

应的两个方程：

用数学知识解mgL1agL2bgL1mgL2，化决实际问题，简后得到使学生认识到学习数学的重mab，并用要性，方法的多种方法对其证多样性培养学明。

生从不同的角师生：共同讨论度思考问题。

及证明出abab，认2为法官的提议是不合理的。

第3页

概

念

均值不等式：如果a、b是正数，那生：经独立思考，

ab（当且仅当a=b时取亲手验证取等号2的条件。

等号）（一正、二定、三相等）

通常，我们也称：

师：引导学生对ab

算术平均数

2定理进行解释并么ab

通过对实际问题的解决，总结归纳一般数学定理。

形

成

ab 几何平均数

让学生通过讨论理解取等号、正定理也可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于数的意义。

它们的几何平均数。

巩

固

练

习

1例1

已知函数f(x)x（x>0）,生：识记定理，基于学生客观x求函数的最小值和此时的x的取值. 相互讨论，用已事实，将知识解：

学知识解决问学以致用，让f(x)x112x.2xx1当且仅当x，即x1(x1舍去)时xf(x)取得最小值2题。

学生进一步理解均值定理，师生：共同总结达到对知识的出用均值不等式巩固。

求最值时要保证

“一定”、“二通过练习让学正”、“三相等”牢固把握所学及均值不等式的知识。

几何意义。

第4页

课

堂

小

结

问题：今天我们有哪些收获呢？

1、理解均值不等式来源及证明过程

2、均值不等式的使用条件“一正二定三等”

3、

会识别并应用均值不等式

让同学总结，其他同学补充。

学生总结能让学生对所研究问题有个总体的认识。

作业: 作

业

一、 P100 1 ，2 ，3.

学生独立完成

通过训练，巩固本课所学知识，检测运用二、

思考：如图,AB是圆O的直径，引导学生注意用所学知识解决Q是AB上任一点AQ=a,BQ=b,过点Q数形集合思想验问题的能力。

作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,你能证均值不等式及训练学生应用ab给出 ab的几何意义吗？

取等号的条件。

基础知识的能2P A a O Q b B

力，培养学生探究的兴趣。

使学生更加容易理解均值不等式，并培养学生数形结合的思想。

板

书

设

计

一、情境问题解决 二、公式推导 四、例题讲解

三、定理及注意事项 五、小结

课

后

反

思

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【学案】均值不等式

一、课前预习导学

【三维目标

】



知识与技能：理解均值不等式的推导方法；掌握均值不等式并能运用公式解决一些简单问题；



过程与方法：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透分类讨论思想及类比思想；



情感态度与价值观：培养学生用生活眼光看数学的思维品质。

【教学重点】：均值不等式公式的推导、理解及应用。

【教学难点】：均值不等式的使用条件及取得等号的条件。

学习过程

学习

环节

学习内容

1．ab2ab可化为 （a0,b0）； ，ab叫

使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：

（1） （2） ；（3） 2．abab叫 2自

主

预

习

教

材

例

ab的几何解释是什么？

2

题

讲

解

例

已知函数f(x)x

1（x>0）,求函数的最小值和此时的x的取值. x

第6页

知

识

梳

理

1、均值不等式的一般形式 2、使用均值不等式是需注意的条件

① ② ③ 3、均值不等式的证明方法： 4、均值不等式的几何意义：

1、下列结论中，错用均值不等式作依据的是：

A x,yR,

则xy2

yx1B a为正数，则1aa4

aC lgxlog2x1

x10D x32

x222E sin x+

4最小值为4

sinx12、求函数yx(x0)的最小值. x

1变式1：

求函数yx(x0)的最大值. x

1变式2：

求函数yx(x2)的最大值. x

第7页

3、求函数yx(1x)(0x1)的最大值.

变式4：求函数yx(12x)(0x1)的最大值.

4、已知x0,y0,

11变式5：设a0,b0,1，求函数sab的最小值. ab119，求函数sxy的最小值. xy

一段长为的30m篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院，墙长18m，问这个矩形的长与宽为多少时，小院的面积最大，最大面积为多少？

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