习题2.1特级教师教学实录

《2.1.2指数函数及其性质》教学设计

一、教材分析

函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教版）第二章《基本初等函数Ι》的第一节第二课（2.1指数函数及其性质）第一课时。

指数函数是学生在高中阶段接触的第一个基本初等函数。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 二、学情分析

学习本节课之前，学生已经学习了有关函数的概念及其性质，这为本节课的学习提供了研究的方向。因此，在研究指数函数及其性质时，学生可以类比前面讨论的函数的性质的思路来研究。教材在本章学习之初给出了两个实际例子（GDP的增长问题和碳14的衰减问题），已经让学生感受了指数函数的实际背景，但是由于学生的基础比较差，对于数学学习热情度也不高，繁琐的文字背景描述会容易造成学生厌烦的情绪。因此，本节课先从一个能动手操作的简单问题出发，通过形象生动的背景来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

此外，在第一章学习集合的运算过程中，已经引导学生针对某些集合可以通过画数轴来表示，这无形中已经向学生渗透了数形结合的思想。因此，在本节课学习中，利用指数函数的图象获取指数函数的性质学生是可以接受的。

三、教学目标

结合上述的教材分析以及学情分析，我们将本节教学目标制定如下：

【知识与技能】

（1）理解指数函数的概念，能画出具体的指数函数的图象；

（2）在理解指数函数的概念、性质的基础上，能应用所学知识

1

解决简单的问题；

【过程与方法】

（1）在学习的过程中，要体会研究具体函数及其性质的知识展示过程和思考方法，然后再将其延伸到一般的指数函数，体现具体到抽象、特殊到一般的思维过程；

（2）通过本节课的学习，使学生获得研究函数的一般规律和方法；

【情感、态度与价值观】

通过对指数函数的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习兴趣，同时也可以鼓励学生在实际生活中从数学的角度发现问题，解决问题。

四、教学重难点

教学重点：指数函数的概念、图象和性质

教学难点：如何由图象和解析式归纳指数函数的性质.

五、教学过程

【创设情境，提出问题】

问题1：曾经有人这么说过：“如果条件允许，我可以将一张厚度仅仅是0.1毫米的纸，经过处理使其厚度超过珠穆朗玛峰。”你觉得可能吗？他又是怎么处理这张纸的？

一张纸经过不断的对折，厚度就不断的增加。因此，如果这张纸可以无限的对折，那么经过多次对折后其厚度超越珠穆朗玛峰是可能的。

2

【启导研究，构建数学】

探究1：请同学们拿出一张草稿纸，现在我们一起探究：对折的次数和对应的厚度之间有什么关系. 次数

层数

0

1

2

3

4

5

...

引导学生动手操作，并完成上述表格的填写。

老师：如果用x表示次数，用y表示层数，那么次数和层数之间的关系该怎么表示？

教师引导学生将表格中所表示的层数表示成以2为底的指数幂的形式，并由学生观察归纳出x与y之间的对于关系为：y=2x，并特别强调函数的定义域。

老师：请同学们观察这个函数，回顾我们学过的函数，看这个函数是不是我们以前学习过的？

学生：我们学过一次函数、反比例函数、二次函数，因此这个函数不是学过的。

老师：那么这样的函数是什么函数呢？

【引入新知，理解概念】

1、指数函数

一般地，我们把形如yax(a0中x是自变量，函数的定义域为R。

问题2：为什么要求a>0且a≠1？当a<0或a=0或a=1是会有什其a1)的函数叫做指数函数，且

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么问题呢？

教师与学生一起探讨，然后教师引导学生归纳出

2、指数函数的特征

（1）ax的系数为1 （2）底数a是常数，且满足a0且a1

（3）ax的指数仅含有自变量x

例1、指出下列函数哪些是指数函数？

(1)y4x(3)y4x(2)yx4(4)y4x1在初步理解概念概念的基础上，让学生及时的应用新知解决问题，从而加深学生的理解

【深入研究，加深理解】

问题3：回顾我们初中学习二次函数的过程，我们除了研究二次函数的解析式外，我们还研究了二次函数的什么？在研究二次函数的图象时，我们是怎么作图的？

作图的一般过程：列表→描点→连线

回顾了作图的一般过程后，以指数函数y2x与

y12为例，教师和学生一起作图。

完成作图后，将指数函数y2x与

y12的图象放在同一坐标系中，让学生观察并归纳出两图象的异同点。

在学生归纳出两个函数的单调性时，教师引导学生观察两个函数的解析式只是底数不同，从而提出问题4.

问题4：指数函数的单调性是否与底数有关呢？现在我们把底

4 xx

数改变一下，再作图会不会有类似的情况呢？

1

请同桌之间相互合作，试着作出函数y3x与函数y的图3x象，并结合前面所作的图象观察它们的单调性有哪些共同特征？

在完成作图后，学生观察图象，易有初步的结论：

当0a1时，指数函数单调递减；当a1时，指数函数单调递增。

为了验证这一结论，教师通过GeoGebra作图软件动态的展示底数变化时对应单调性的情况。

【归纳总结，提升认识】

对上述具体函数探讨的结果进行归纳总结，将其一般化，从而促进学生对指数函数的图象、性质的整体把握和认识。

指数函数yax（a0且a1）的图象和性质，如下表所示：

5

【应用数学，及时巩固】

1、观察下图，A、B、C表示函数的图象，其中一定不是指数函数的图象的是（

）

2、函数y(a23a3)ax为指数函数，则a的值为________．

1x3、指数函数y4x,y的图象如图所示，试着说明哪个函,y24x数对应哪个图象，并解释为什么。

【课堂总结，拓展深化】

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

（2）你又掌握了哪些学习数学方法？

（3）你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？

6

【布置作业,学以致用】

课本58页

练习第二题

第三题

【课后小记】

八个环节层层深入，环环相扣，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作，动眼观察，动脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程，以问题为驱动，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入，思考题又将激发学生兴趣，带领学生进入对指数函数更进一步的思考和研究之中，达到知识在课堂以外的延伸。

六、板书设计

2.1.2指数函数及其性质

一、定义

一般地，我们把形如数的定义域为R。

yax(a0a1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，函二、指数函数的特征

（1）

ax的系数为1 （2）底数a是常数，且满足a0且a1

（3）a的指数仅含有自变量x

x三、指数函数的图象及其性质

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