信息技术应用 用计算机绘制函数图象教学设计思路

1.3.1单调性与最大（小）值第1课时的教学设计

琼海市长坡中学 王屯锋

课型：新授课

一、教学内容解析

《函数的单调性》是《高中数学人教

A 版》（必修

1）第一章

1.3.1 节的内容，本节课的主要内容是从形与数两方面理解函数单调性的概念，依据图象判断函数的单调性和应用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性．

函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质．函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法．这就是：加强数形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般．即借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化的数字特征，从而加以解析研究，用准确的数学语言刻画．函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用，提供了方法依据．

函数的单调性有着承前启后的作用．一方面，函数的单调性是前一节内容函数的概念与图象知识的延续与扩展，同时函数的单调性又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础，在解决函数定义域、值域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了数形结合、归纳类比、转化与化归等数学思想．利用定义证明函数单调性的过程中，算法的思想提前渗透，在强调对单调性概念中的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫．

本节课的教学重点：形成增（减）函数的形式化定义. 二、教学目标设置

根据新课标的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求，并结合本校学生的实际水平，确定本节课教学目标如下：

1．从形与数两方面理解函数单调性的概念，会根据函数图象判断函数的单调性，指出函数的单调区间；

2．能够根据函数单调性的定义证明函数在指定区间上的单调性；

3．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的

推理论证能力；在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

目标解析：

1．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、归纳类比思想、转化与化归思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括出函数单调性的概念．

2．能够以具体的例子说明函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图象说明函数在定义域的某区间上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质．对于一个简单函数能够用单调性的定义证明它在指定区间上是增函数还是减函数．

三、学生学情分析

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数及反比例函数、函数的概念及表示，能画出一些简单函数的图象，从图象的直观变化，学生能粗略的领会函数增减性的概念，从而引入函数单调性的定义也就水到渠成．

从学生现有的学习能力来看，通过初中对函数的认识和实验，学生已具备一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．

从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”的描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重难点问题．函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础．但是如何运用数学符号将自然语言的描述转化为形式化的定义，学生接受起来还比较困难．在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性的定义．

教学难点：在形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；基于第一次接触代数证明，如何用定义严格证明函数的单调性，也是本节课教学的一个难点. 四、教学策略分析

为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：

1．创设情境．通过观察上楼梯的动态图片及分析上楼梯时人的位置随台阶

的变化情况，自然联系函数的单调性，同时激发学生的学习兴趣，轻松引入课题．

2．提炼概念．①以学生熟悉的函数f(x)x2为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性；②通过几何画板的动态演示和数据分析，让学生直观了解图象的升降与x、f(x)对应值之间的关系，能用自然语言“fx随着x的增大而增大”

来描述“函数fxx2的图象在0,是上升的”，进一步认识函数单调性；③经历观察、分析、归纳的认知过程，能将图象在0,“上升”这一特征用该区间上“任意的x1x2，都有f(x1)f(x2)”的符号语言进行刻画，从而产生增函数的概念．最后通过类比，得出减函数的概念．

3．辨析概念．一方面是函数单调性概念内涵的挖掘，结合函数单调性定义中的关键词“任意”以及单调性是函数的局部性质等内容设置辨析，加深对概念的理解；另一方面是概念的外延拓展，从单调区间没有可加性、单调性概念的正逆互推这两个方面和学生互动交流，提升对单调性概念的整体认知．

4．应用概念．一方面通过观察图象判断函数的单调性，指出函数的单调区间；另一方面，让学生掌握根据定义证明函数在给定区间上的单调性的方法和规范步骤．

五、教学过程

（一）创设情境，引入新知

函数是研究事物运动变化规律的数学模型，而生活中许多运动变化现象都具有规律性．让学生观察“上楼梯”的动态图片，提出问题：在上楼梯时，人的位置是如何随台阶的变化而变化的？

预设：随着台阶数的增加，人的位置会逐渐升高．

“上楼梯”的这种变化规律，体现的就是人的位置与台阶级数这两个量之间的变化规律，从函数的角度看，即一个量随另一个量变化而变化的规律．

【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．

（二）提炼概念，形成新知

教师：这种规律，反映了函数的一个重要性质，这就是我们今天要研究的内容：函数的单调性．本节课我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．

问题1：观察函数f(x)x1与f(x)2x2的图象，解决如下问题：

（1）从左往右看，图象有什么样的“升”、“降”规律？

（2）图像的这种“升”、“降”规律反映了随着自变量的变化，函数值是如何变化的？

教师：引导学生观察图象，获得信息：

①第一个图象从左至右是上升的，在整个定义域内f(x)随着x的增大而增大; ②第二个图象从左至右是下降的，在整个定义域内f(x)随着x的增大而减小．然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数．

教师：二次函数f(x)x2在整个定义域内是增函数还是减函数？

通过师生互动，引导学生认识增、减函数和区间的关系，强调单调性是针对定义域的某个区间而言的，是函数的一种局部性质．

【设计意图】从图象直观感知函数的单调性，并从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述，完成对单调性的第一次认识．

教师：通过观察图象的升、降趋势，我们用自然语言描述了增、减函数，但数学中的概念表述要求严谨规范，所以还需用准确的符号语言来刻画增、减函数的定义．

问题2：以二次函数f(x)x2为例，如何用准确的符号语言描述“f(x)在0,上是增函数，即在0,上f(x)随x的增大而增大”？

第一步：将“x增大”符号化，类比“x增大”得到“f(x)的增大”；

教师：

“x增大”，就是x由小变大，这说明“增大”意味着大小比较，而比较至少要在两个数之间进行．不妨设其中一数为x1,另一数为x2，将x1看作较小数、x2看作较大数，自然得到“x增大”用符号语言描述就是：x1x2．

第二步：将“随”字符号化；

预设：学生不难得出，当x1x2时，有fx1fx2．

第三步：再将隐含语言“区间”符号化；

教师：x1、x2在哪里取？该区间与定义域有何关系？强调单调性是函数的局部性质，逐步引导学生得出单调性定义．

说明：学生对“任意性”的认识可能会有欠缺，但可通过后续的概念辨析等学习活动加深对单调性概念的理解，逐步深化认知．

【设计意图】通过一系列提问和引导，让学生突破思维的瓶颈，初步学会用符号语言“在区间0,上任取两个数x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”来描述“在0,上fx随着x的增大而增大”，把对单调性的认识由感性上升

到理性认知高度，完成对概念的第二次认识．

师生共同探究，得出增函数的严格定义（板书定义）：

一般地，设函数fx的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

用图象刻画增函数．

【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．

问题3：类比增函数的定义，对于一般的函数yfx，我们又该如何给减函数下定义？

学生通过类比、观察、交流后，得出减函数定义，并用图象刻画减函数．

师生活动：小组交流讨论，代表发言．

【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比推理能力．

（三）辨析概念，深化新知

辨析题：判断下列说法是否正确，若不正确，请举例说明理由．

(1)定义在R上的函数f(x)满足f(－1)< f(2) ，则函数f(x)在R上是增函数．（交流讨论，借助幻灯片以图象形式给出反例）

(2)f(x)x23在,上是增函数．（×）

(3)反比例函数f(x)11在,0，0,上是减函数，则f(x)在xx,00,上也是减函数．（×）（小组合作探究,学生展示反例）

(4)函数yfx在[0,)上为增函数，任取x1、x20,，如果

（√）

(几何画板作动态演示) fx1fx2，那么x1x2．师生交流，代表发言，通过辨析题让学生认识到以下五点：

(1)在定义域R上有两个或无数个自变量满足当x1x2时，有fx1fx2都不能反映“函数值f(x)随自变量x的增大而增大”的本质．必须强调x1、x2是

“任意”的，才符合增函数的特征；

(2) 有些函数只在定义域的某些区间上具有单调性，而在整个定义域上不一定单调，强调单调性是函数的局部性质；

(3) 以反比例函数为突破口，强调单调区间没有可加性；通过本题也可让学生思考：如何说明一个函数在给定区间上不是单调函数？

(4) 函数单调性的概念可以正逆互推，了解这点有利于后续解决运用单调性求解不等式的相关问题．

【设计意图】通过对概念的辨析，一方面挖掘函数单调性概念的内涵，另一方面拓展其外延，加深对单调性的理解，完成对概念的第三次认识．

（四）应用概念，掌握新知

例1

下图是定义在区间5,5上的函数yfx，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

–5–4–3–23yy=f(x)

21–1O–1–212345x师生活动：学生观察图象，独立完成．

【设计意图】学生能通过观察图象说出函数的单调区间，完善和加深对函数单调性概念的理解．

例2

试用单调性的定义证明f(x)x2在[0,)上是增函数．

师生活动：教师分析，学生思考，教师按定义严格板书示范，指出本例证明的关键是对作差结果进行合理变形和符号判断，让学生提炼用定义法证明函数单调性的基本步骤：①任取；②判断；③根据定义下结论，并强调x1,x2的三个特征：同范围、任意性、有大小．

练习：证明函数f(x)21在,0上是减函数．

x师生活动：学生上台展示，教师讲评．

【设计意图】让学生掌握用定义证明函数单调性的方法和书写的规范步骤．

（五）课堂小结

通过本节课的学习，我们来体会一下都有哪些收获？

师生活动：学生谈本节课的感受，教师梳理、总结本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．

【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．

思考：如果对任意的x1,x2a,b，当x1x2时，有x1x2f(x1)f(x2)0，那么函数y=f(x)在a,b上是增函数吗？

（六）布置作业

1．基础达标：①教材中练习的第2、3题；

②求证：函数fxx2在区间,0上是减函数；

2x1,x02．能力提升：研究函数f(x)2的单调性；

xx,x03．思考探究：在一碗水中加入一定量的糖，糖加的越多糖水越甜（糖水不饱和状态下）．你能用本堂课所学知识解释这一生活现象吗？

【设计意图】有梯度的设计作业，满足不同层次学生的不同要求．同时，探究题有意识的将数学与生活结合，让学生学以致用，既巩固了基本知识，又提升了分析问题和解决问题的能力．

（六）板书设计

课题

1．增函数（板书定义）

2．减函数（学生类比）

3．单调性和单调区间

例题（总结证明步骤，明确变形方向）

练习（学生展示）

（七）教学反思

本节课通过给出具体的函数实例和函数单调性的图形语言，调动学生参与的意识，又运用多媒体演示、提问、分析定义等方法，加深对抽象的数学概念的理解，渗透了数形结合的数学思想方法．后面通过概念辨析，使学生的认识得到深化，思维得到发展．