小结设计意图

恒成立问题－－参变分离法

陈瑞鉴

一.基础知识

1参变分离法：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等式的两侧，即不等式的每一侧都是只含一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求另一个变量的范围。

2.

如果确定变量与参数：一般情况下，哪个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一字母（一般为所求）视为参数。

3.参变分离法的原理是将恒成立的问题转化为求最值的问题：分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成立（af(x)max即可）

二．典例分析

例1：已知函数f(x)exaex，若f(x)23恒成立，则实数a的取值范围是_____

解：f(x)exaex，即exa23恒成立，

xe即a(ex)223ex恒成立，令g(x)(ex)223ex，只需ag(x)max，

又g(x)(ex)223ex(ex3)23，g(x)max3，所以a3

【思路点拨】首先通过分离参数得到一个新的不等式恒成立，然后根据此不等式的结构构造新函数，通过常用的方法求最值，从而就可顺利求得的范围．

练习1：已知函数f(x)lnx，若f(x)x2在1,上恒成立，则实数a的取值范围是x_____

axa

解：lnxx2xlnxax3axlnxx3,其中x(1,)

令g(x)xlnxx3,x(1,)

只需ag(x)max，g(x)1lnx3x2

g(1)2,g(x)16x0，g(x)在（1，）上单调递减，

xg(x)g(1)0g(x)在（1，）上单调递减，g(x)g(1)1

a1

【思路点拨】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。

1

2练习2：：设函数f(x)x21，对任意x,，f()4mf(x)f(x1)4f(m)恒成立，32xm则则实数m的取值范围是_____

解：()214m2(x21)(x1)214(m21)(1x22x332(24m)，其中x,，

mx221x22x3324mg(x)min，

令g(x)，，则只需x,22mx2xm12224m)xx2x3

2m又g(x)2x63530g(x)g()在恒成立,

x,minx323215242224m12m5m30，即(3m1)(4m3)0，

2m333解得m,,

22【思路点拨】本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于m的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择

g(x1)f(x2)e2x21e2x,g(x)x，对任意的x1,x2(0,)，不等式例2.设正数f(x)恒成立，kk1xe则正数k的取值范围是_____

解:不等式化为g(x1)2xkf(x2)kf(x2)g(x1)max，又g(x)e(1x)e

,所以只需k1k1令g(x)0，解得0x1，g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减. 故g(x)maxg(1)e，所以原不等式恒成立,只需k1f(x2)m则只需ekikf(x2)k1e，即ef(x2), k1k1e2x212112x,又(当且仅当时取f(x)ex2ex2enexxx""),f(x2)min2e,所以ek12e,解得k1

k【思路点拨】对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常可以这样处理：选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

2

练习：已知函数f(x)ax2(2a1)xlnx,aR，g(x)exx1，若对于任意的x1(0,)，x2R，不等式f(x1)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围是_____

解:若对于任意的x1(0,)，x2R，不等式f(x1)g(x2)恒成立，只需f(x1)g(x)min.由g(x)exx1

，得g(x)ex1.令g(x)0解得x0

g(x)在(-,0)上为单调递减,在(0,)上单调递增.g(x)ming(0)0

x1(0,),f(x1)0恒成立，即只需f(x)max0，

12ax2(2a1)x1(2ax1)(x1)又f(x)2ax2a1

xxx当a0时,x,f(x),与f(x)max0矛盾，不符合题意。

当a0时,2ax10,此时令f(x)0解得0x1

f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减. f(x)maxf(1)a(2a1)a1，a10a1

【思路点拨】若分离参数后的函数解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则没法用参变分离法解决问题。可通过讨论参数利用导数研究函数的单调性来求其最值.

三．课堂反思（能过本节课几个例题的讲解，回答以下几个问题）

问题1：恒成立问题什么时候可用参变分离法，判断的标准是什么？

判断恒成立的问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两个原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离的目的，则参变分离可行。但有些不等式中由于两个字母的联系过于紧密，会出现无法分离的情况，此时要考虑其他方法，例如:(x1)2logax

（2）要看参变分离后，已知变量的函数表达式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也没法用参变分离法解决问题。

问题2：将恒成立的问题转化为最值问题后，求最值的方法有哪些？

求最值常见的方法有：基本不等式，求导，二次函数的图像

3

问题3：参变分离后出现的情况及处理方法要注意什么？（假设x为自变量，其范围设为D，f(x)为函数，a为参数，g(a)为其表达）

（1）若f(x)的值域为m,M

①xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)minm

xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)minm

②xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)maxM

xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)f(x)maxM

若f(x)的值域为m,M

①xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)m

xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)m（注意与（1）中相应的情况进行对比）

②xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)M

xD,g(a)f(x)，则只需要g(a)M（注意与（1）中相应的情况进行对比）

问题4：遇到多变量的问题，应当如何处理？

对于含有两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，可以按以下方式处理：选择一个变量，与所求参数放在一起，与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

四．课后强化

A组（基础）：

92x6xa对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值(

) 23311

A



B

C

D



44441.设函数f(x)x3【答案】A 【解析】f(x)3x9x6, '2'2对xR,f(x)m, 即

3x9x(6m)0在xR上恒成立, 338112(6m)0, 得m，即m的最大值为. 4422．【2018西藏林芝市第一中学高三9月月考】已知函数fxaxbx1（a0，

xR）．

4

（1）若函数fx的最小值为f10，求fx的解析式，并写出单调区间；

（2）在（1）的条件下，

fxxk在区间3,1上恒成立，试求k的取值范围．

【答案】(1) fxx2x1

，单调递减区间为,1，单调递增区间为1,

；

2(2) k的取值范围为,1．

试题解析：

（1）由题意得f1ab10，

a0，且2∴a1，

b2，∴fxx2x1，

b1，

2a单调递减区间为,1，单调递增区间为1,．

（2）fxxk在区间3,1上恒成立，

2转化为xx1k在区间3,1上恒成立．

设gxxx1，

x3,1，则gx在3,1上递减，

2∴gxming11，

∴k1，即k的取值范围为,1．

3.设函数f(x)12xexxex

2（1）求f(x)的单调增区间。（2）若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。

4.设函数f(x)tx22t2xt1(xR,t0)

（1）求f(x)的最小值h(t)（2）若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围。

B组（提升）：

1.若对任意xR，不等式3x22axx恒成立，则实数a的取值范围是_____

2.已知函数f(x)是_____

3.(2016全国卷1文)12.若函数f(x)xsin2xasinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范

5 341lnxk，如果当x1时，不等式f(x)恒成立，则实数k的取值范围xx113

围是(

) A.1,1

B.

111

C. 1,,

333D.1,

3112.C f

'(x)=1-cos

2x+acos

x=1-(2cosx-1)+acos

x=-cosx+acos

x+,

f(x)在R上单调递增,则f

'(x)≥0在R上22恒成立,令cos

x=t,t∈[-1,1],则-t+at+≥0在[-1,1]上恒成立,即4t-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,

22令g(t)=4t-3at-5,则2解得-≤a≤,故选C.

4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)xsinx．若不等式f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是

A．(,2)

C．(,0)B．(2,0)

D．(,2)(2,)

(2,)

【参考答案】（1）D；（2）A．

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