习题1.2教学设计及教案分析

函数的单调性

教学目的：

1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法. 2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤. 教学难点：单调性的综合运用

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2

⑴若当x1

⑵若当x1

>f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数. 2.若函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数yf(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 3.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1

1．函数单调性的证明

例1．判断并证明函数f(x)x3的单调性

证明：设x1x2则

f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x1x2x2)

∵x1x2

∴x1x20

，x1x1x2x2223222x3x(x12)220, 242∴f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)

（注：关键f(x1)f(x2)0的判断）

∴f(x)x3在R上是增函数.

2．复合函数单调性的判断

对于函数yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在区间(a,b)上是具有单调性，当x(a,b)时，u(m,n)，且yf(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数yf(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：

yf(u)

ug(x)

增

↗

增

↗

增

↗

减

↘

减

↘

减

↘

增

↗

减

↘

减

↘

增

↗

yf(g(x))

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 证明：①设x1,x2(a,b)，且x1x2

∵ug(x)在(a,b)上是增函数，

∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)

∵yf(u)在(m,n)上是增函数，∴f(g(x1))g((x2)). 所以复合函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数

②设x1,x2(a,b)，且x1x2，∵ug(x)在(a,b)上是增函数，

∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)

∵yf(u)在(m,n)上是减函数，∴f(g(x1))g((x2)). 所以复合函数yf(g(x))在区间(a,b)上是减函数

③设x1,x2(a,b)，且x1x2，∵ug(x)在(a,b)上是减函数，

∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)

∵yf(u)在(m,n)上是增函数，∴f(g(x1))g((x2)). 所以复合函数yf(g(x))在区间(a,b)上是减函数

④设x1,x2(a,b)，且x1x2，∵ug(x)在(a,b)上是减函数，

∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)

∵yf(u)在(m,n)上是减函数，∴f(g(x1))g((x2)). 所以复合函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数

例2．求函数y82(2x)(2x)的值域，并写出其单调区间

2222解：题设函数由y82uu和u2x复合而成的复合函数，

2函数u2x的值域是(,2]，

在(,2]2y82uu29(u1)2上的值域是(,9]. 222故函数y82(2x)(2x)的值域是(,9].

对于函数的单调性，不难知二次函数y82uu2在区间(,1)上是减函数，在区间[1,)上是增函数；

二次函数u2x区间(,0)上是减函数，在区间[0,)上是增函数

22当u(,1)时，2x2(,1)，即2x1，x1或x1. 2当u[1,)时，2x2[1,)，即2x1，1x1. yy

uu2x2xy82uu2uy82(2x2x)(2x2)2因此，本题应在四个区间(,1)，[1,0)，[0,1)，[1,)上考虑

①

当x(,1)时，u2x2(,1)，

2而u2x在(,1)上是增函数，y82uu在(,1)上是增函2222数，所以，函数y82(2x)(2x)在区间(,1)上是增函数

②当x[1,0)时，u2x[1,)，

2而u2x在[1,0)上是增函数，y82uu在[1,)上是减函数，

22所以，函数y82(2x)(2x)在区间[1,0)上是减函数

222③当x[0,1)时，u2x(1,)，

2而u2x在[0,1)上是减函数，y82uu在(1,)上是减函数，

22所以，函数y82(2x)(2x)在区间[0,1)上是增函数

222

④当x[1,)时，u2x2(,1]，

而u2x在[1,)上是增函数，y82uu2在(,1]上是减函数，所以，函数y82(2x2)(2x2)2在区间[1,)上是减函数

2综上所述，函数y82(2x2)(2x2)2在区间(,1)、[0,1)上是增函数；在区间[1,0)、(,1]上是减函数

三、课堂练习：课本P60练习：3，4

四、小结

本节课学习了以下内容：函数单调性的证明方法

五、课后作业：课本第60习题2.3：4，5，6，7