3.4.1 函数与方程优秀教学设计

第四章 函数的应用

4.1 函数与方程

4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

单位：南昌大学附属中学 姓名：陈一君

一．

教学内容分析

本节内容是高中数学必修一，第四章

函数的应用，第一节函数与方程第一课时利用函数性质判定方程解的存在；课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般的化归转化思想，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法. 二、教学目标 1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；

2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；

3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间

4.经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．体会从特殊到一般的转化的数学思想。

三、学情分析 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．其次，学生对于方程已经有了一定的认知基础，对方程的根并不陌生，这样就使得方程与函数联系的过度学生容易掌握，但学生对于数形结合的数学思想仍不能胜任，故本节课关键在于通过图像去突破重难点，学生会表现出不适。而本节的零点存在定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从不同的角度审视定理的条件与适用范围

四、教学策略选择与设计 本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会，只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生，紧扣教材，注重思维、注重过程

五、教学重点及难点

教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．

教学难点：对零点存在性定理的准确理解

【教学过程】

（一）

创设情境、激发兴趣

（二）回归旧知、导入新课

探究1：判断下列方程解的存在性

（1）x2-x-6=0

（2）

4x3+x-15=0

（三）探究新知、引入概念

探究2：解答下列问题：

（1）

求方程x22x30的根，画函数y=x2-2x-3的图像；

2（2）

求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x-2x+1的图像；

2（3）

求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x-2x+3的图像. y 4 2 -1 1 2 3 x -2 O y 4 2 -1 1 2 3 x -2 O y 4 2 -1 1 2 3 x -2 O -4 -4

-4 问题1：根据图像回答：方程的根与函数的图像和x轴的交点有什么关系？

【函数零点的概念】

_____________________________________________________________________________. 问题2：你能从下列函数图像中分析出函数有几个零点吗？请给你的同桌画一个函数图像，让他分析一下函数的零点个数？

Oyx

2问题3：请找出函数f(x)x2x3的零点在哪个区间内？并讨论区间端点函数值的符号关系.

问题4：观察下图，解决下列问题，如何判断函数零点存在条件？思考上述规律是否具有一般性？

y[a,b]上_____(有/无)零点；

(1)f(a)gf(b)____0, (2)f(a)gf(e)____0, [a,e]上_____(有/无)零点；

aOcbdex(3)f(a)gf(c)____0, [a,c]上_____(有/无)零点；

(4)f(c)gf(d)____0, [c,d]上_____(有/无)零点.

问题5：若有f(a)gf(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上一定有零点吗？你能举个例子吗？

【函数零点存在性定理】____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 问题6：如果函数y=f(x)在区间(a,b)上是连续的曲线，且在(a,b)内有零点，一定有f(a)gf(b)<0吗？

问题7：如果函数y=f(x)在区间(a,b)上是连续的曲线，且有f(a)gf(b)<0，能否确定零点的个数呢？

问题8：在问题6的基础上，再加上什么条件，函数在区间(a,b)上存在唯一零点？

（四）实例探究、巩固新知

探究3：已知函数f(x)=3x-x2 .问方程

f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解？为什么？

探究4：

（解决探究1疑问）判定方程4x3+x-15=0解的存在性.

（五）课时小结、归纳总结

问题9：本节课我们学习了哪些知识点？掌握了哪些思想方法？

（六）作业布置、独立探究

1．函数f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5,6]上是否存在零点？若存在，有几个？

2．利用函数图像判断下列方程有几个根：

x-1（1）2x(x-2)=-3；（2）e+4=4x

3.方程 lnx+2x-6=0在实数范围内有_____个解.

思考题：方程 lnx+2x-6=0在区间_____内有解，如何求出这个解近似值？预习下一节．