3.1.2 指数函数教案及板书设计

2.1.2<<指数函数及其性质>>教学设计

峰峰一中 陈文菊

一、

教材分析

指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。

二、

学情分析

学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。

三、

教学目标

1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。

2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索，培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法

。

3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。

四、

教学重、难点

重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。

难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。

五、

教学学法

教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。

学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。

六、

教学过程

（一）创设情境

引例一：在活的生物体内,碳14的含量是保持不变的.当生物死后,它机体内原有的 会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此t15730P()(t0)2规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式： 设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，PPT上配了恐龙化石的图片，激发学生的兴趣。

引例二：《庄子•天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请你写出取X次后，木棰的剩余量y与x的关系式？

引例三：动手操作,并回答下列问题：一张白纸对折一次得

（ ）

层，对折两次得（ ）层，对折3次得（ ）层，问若对折

x

次所得层数为y，则y与x 的关系式是？

设计意图：从中国文化和日常生活入手作为引例，让同学们感受中国数学文化的博大精深和数学源于生活，以利于学生体会指数函数的概念来自于生活，并且服务于生活，从而更加爱数学，激发学生学习兴趣。

（二）概念形成

我们从三个引例抽象得到三个关系式：

问题一：这三个关系式有什么共同特征? 1

问题二：它们能构成函数吗？

学生：1、函数解析式都是指数形式。 2、底数都是正的常数。 3、自变量x都在指数的位置。

老师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成yax的形式，自变量在指数位置，我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。

设计意图

：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出指数函数的模型, 由学生归纳出指数函数的概念，培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力。

（三）探究新知

1、指数函数的概念：

一般地，函数__________叫做指数函数（其中____________)， 即将a的取值范围分为______和______，x是自变量，函数的定义域为________。 （1）探究与思考：

①为什么规定a0且a1呢？ ②指数函数的解析式yax有什么特点？

学生：通过交流合作、教师引导，可以得出如下结论：

①关于底数a范围的说明：a0且a1

（1）当a=1时，对于x∈R都有ax=1是一个常量，没有研究的必要。 （2）当a=0时，x≤0时，ax没有意义。 （3）当a<0时，对于x的某些值，可使ax无意义。例如：a=-2,x=②总结：根据指数函数的定义：形如：yax (a0且a1) 1、底数要大于0且不等于1 2、幂指数是自变量x 3、系数为1 设计意图：

1、讨论出a0且a1，为下面研究性质是对底数的分类做准备。

2、通过对指数函数形式的具体分析，使学生进一步掌握指数函数一般形式，强调它是形式定义。

（2）练习：下列函数中，哪些是指数函数？

1（1）y=x4 (2)y=2×4x (3)y=(-4)x (4)y=(2a-1)x(a且a1 ) 2xy(5) (6)y=42x (7)y=4x+1

学情预设：学生可能会在（6）(7)的判断上出现错误。指导：只要能化成yax(a0且a1)一模一样的形式就是指数函数。

设计意图：进一步加深学生对指数函数概念的理解，使学生认识到“指数函数”的定义是形式定义。

2.

指数函数的图象性质

（1）思考：类比前面学过的函数，一种新函数除了定义，还要研究什么？

学生：函数的图象，函数的性质，性质的应用

2 1

2

（2）计算并完成下面表格：x

x x-3

2

-2

-1

0

1

2

3

3

1()X2

1X（）3

(3)

请同学们分别画出下列函数的图象，并观察你所画出图象的特征:

11(1)y2x(2)y3x(3)y()x(4)y()x注意：请将以上图象画到同一坐标系中

23老师：请同学们将完成的的图像拿出来，并将其在多媒体上展示，进一步强调作图的三个步骤：列表、描点、连线； 11思考1：图像y2x与y()x、y3x与y()x有什么关系？如果将指数函数分类，该如23何分类？

老师：同时在多媒体上画出这四个图像,并在多媒体上用PPT演示随着a的变化图形的变化规律，引导学生观察图象，组织学生讨论，合作交流，得出a1和0a1这两种情况在图象上的特点。在此环节中，学生通过对具体的函数进行观察归纳，合作交流，加之多媒体的演示，将具体化为抽象。

思考2：（1）图像分布在哪些象限？说明什么？

（2）图像与坐标轴的相交情况？说明什么？ (3)根据图像，我们要研究函数的哪些性质？

a>1 0

像

定义域

性

值域

质

过定点

单调性

x,y取值情况

3 x>0时， ；x<0时， x>0时， ；x<0时，

学生：分小组讨论和探究，教师指导，得出如下结论：

（1）第一、二象限 说明指数函数的值域为（0，+∞）

（2）与y轴交于（0,1） 指数函数恒过（0,1）

（3）当a1时，图像上升，函数为增函数；当0a1时，图像下降，函数为减函数。

设计意图：

1. 通过引导学生对具体的函数进行观察归纳，合作交流，更好的让学生体会从具体到一般的思想方法。

2.提高学生的动手能力，将具体化为抽象，并感受了对底数的分类讨论的思维方式，从而达到了突破重点的目的。

指数函数的图像和性质如下：

填表：

a>1 0

像

定义域

性

值域

质

过定点

单调性

x,y取值情况

R （0，+∞）

（0,1）

在R上是增函数

在R上是减函数

x>0时,y>1 ；x<0时，00时，01 设计意图：通过观察图象的特点和函数性质的建构培养学生的数形结合思想、分类讨论思想和抽象概括思想，同时表格的完成将会使学生感受到本节课有很大的收获，思绪也进入到高潮。 (5)再看图像，总结规律：

1思考一：看图像，观察yax与y()xax的图象有什么关系？

a思考二：函数值的变化情况？

思考三：图像高低与a的关系？

老师和学生一起总结规律：（1）关于y轴对称（2）口诀：同大异小（3）口诀：底大图高

并用六句话总结图像性质：

左右无限上冲天, 永与横轴不沾边.

大一增，小一减，

图象恒过(0,1)点. 底大图高来比a, 同大异小比大小

（四）知识应用，巩固提高

例1、已知指数函数f(x)的图象过点（3，），

求f(0)， f(1)， f(-3)的值。

设计意图：这两道题相对来说比较容易，由师生共同完成，进一步加深理解本节所学的指数函数的概念和性质，巩固相关知识点。

4

例2、

比较下列各题中两值的大小

(1)30.8,30.7(2)0.750.1,0.750.1(3)0.80.1,1.250.2(4)0.250.8,0.51.8(5)1.70.3,0.93.1(6)1.01365,0.99365

设计意图：利用指数函数的单调性判断大小，引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

归纳：（1）（2）底数相同，指数不同：构造指数函数，利用单调性比较大小；

（3）（4）化成底数同，指数不同的类型；（5）（6）底数不同，指数不同：借助于中间量比较大小。 反馈练习：比较m、n的大小

（1）2m<2n （2）0.2m<0.2n （3）am>an

（五）、课堂小结

本节课学了哪些知识？

1、知识上：（1）指数函数的定义；

（2）指数函数的图像与性质（3）图像及性质的简单应用

2、方法上：数形结合思想、分类讨论思想、从特殊到一般的抽象概括的方法。

3、指数函数图像性质口诀：

左右无限上冲天, 永与横轴不沾边.

大一增，小一减，

图象恒过(0,1)点. 底大图高来比a, 同大异小比大小

（六）作业布置

1、必做题：课本59页，习题2.1、A组第5、6 、 7题

2、补充：（1）已知2x213

，则x的取值范围为 ；

11（2）已知()x，则x的取值范围为 ；

327（3）已知25x0.2，则x的取值范围为 ；. a1-a）3、选做题：比较a1a和（的大小。

七、板书设计

PPT 5 2.1.2指数函数及其性质函数

函数形式转换

生1答题区：

生2答题区：

八、教学反思

1、激发学生学习动机一直是数学课堂上需要提高的环节，只有调动学生的学习积极性，才会使学生学的又快又好，成为课堂的真正的主人。

本节从以下几个方面来提高学生的学习动机。（1）通过学生感兴趣例子碳14衰变，数学文化案，折纸游戏引入新课，使学生感到数学的美。（2）结合课本例题说明本节课的学习实用性。（3）通过学生自主作图，小组内合作做出四个典型函数的图像。（4）借助信息技术，使分类讨论变的直观，易接受。（5）同学们利用所作图象总结指数函数的性质，并结合信息技术一目了然。（6）通过图像，总结性质，口诀突破，使学生易记易懂。（6）练习阶段，学以致用，学生大显身手。（7）学生总结，教师点评，一首小诗总结本节内容。

遗憾之处：可借助例2（6）1.01365,0.99365比较大小，可引导学生，“

”， 激励学生付出比1大0.01的努力，一年（3651.0136537.78,0.993650.025能给你什么启示呢？天）后，会收获原来的37.78倍的成功；而比1少付出0.01，收获成功的几率只能是原来的1，从而更加努力学习。因为时间关系，把这段省略了。

402、在整个的教学过程中，始终体现以学生为本的教育理念，同时在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，重视讨论、交流和合作。

3、在教学过程中，我发现，会出现不是很严谨的数学言语表达，但是老师说出来，学生却可以理解老师要说什么。以后在上课的时候要尽力避免这类语言的出现。

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