信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计(第二课时)

用信息技术探究椭圆定义及其标准方程

一、教学内容分析

本课选自《普通高学课程标准实验教科书（选修2-1）数学》(北师大版)，第三章1.1节.本节教材主要内容是使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用；使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程及其轨迹.本节对椭圆定义与轨迹的研究，和圆的定义与轨迹相呼应，学生学习了圆的定义之后，已初步具备了探讨椭圆定义的本质这个问题的能力，通过探究，使学生从感性认识逐步上升到理性认识，形成对椭圆这一概念本质的理解，从而进一步让学生体验“用方程研究曲线”这一基本思想，体现了数学的和谐之美，符合认知的渐进原则. 二、学生学习情况分析

我校是省级重点普通高级中学，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力.在此之前，学生已经熟练掌握圆的定义及轨迹，二次函数的图象等内容，迫切想了解更多曲线本质特征.但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强．

三、设计思想

为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情境、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情境，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆概念的形成”和“椭圆的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦. 四、教学目标

1.使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用；

2.掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、第

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标准方程及其轨迹. 3.掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想,提高分析问题的能力. 4.营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学．引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简洁美、和谐美．培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦．发展数学应用意识，认识数学的应用价值．

五、教学重点和难点

教学重点: 椭圆的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建立直角坐标系和对

方程的讨论选择突出重点. 教学难点：椭圆概念的形成．通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破难点．

六、教学过程设计

中国第一颗人造地球卫星“东方红一号” 太阳系行星运行轨道

生活中的玻璃餐桌 椭圆是由圆压扁得到的吗? （一）设置情境，导入新课

（借助多媒体）先给出一张“东方红一号”的图片.

师：中国自主研究的人造地球卫星是我们中国人的骄傲，同学们你们通过努力学习,一定可以为中国创造更多的骄傲，对吗? 生：对！

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生：当然可以！

生：为中华民族崛起而努力！

师：对！大家都很有信心,我相信你们有一天可以做到的.今天我们就着手研究卫星运行的轨道——椭圆.( 给出另外三张图片,让学生简要讨论图片内容) 【学情预设】学生被教师设置的情境所吸引，学习的热情高涨．

【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率．

（二）引导探究，获得新知

师：在高一我们已经学过圆的定义和方程及圆的轨迹，那么，我们看到第四张图片,椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有没有关系吗? 生：不是！

生：是！

师：它和圆有没有关系吗? 生：有关系. 生：没有关系. 师：为了解决这两个问题,先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．我们来看一看椭圆和圆的画法．(找2个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆，之后用“几何画板”演示圆的形成和椭圆的画法) 【学情预设】学生认真观察图象的变化.

【设计意图】不仅回顾了圆的相关内容，体验了椭圆的画法,而且为归纳出椭圆的定义打下基础. 师：这椭圆是怎么画出来的啊？（课堂顿时一片寂静）

师：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?(可以提问,也可以集体回答) F1

y M

o

F2

x

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生：F1、F2点固定，是定点．

师：对！还有什么条件吗？

生：MF1+MF2就是细绳的长度．

师：太对了，而细绳的长度是固定的，也就是说MF1+MF2 是个定长．同学们归纳的很正确，那么这里面有没有隐含着什么呢？

生：……

师：我们来看, F1、F2、M三个点是构成一个三角形的…… (有学生说出应满足的结论) 生：MF1+MF2大于F1F2的长度. 师：回答得很好！请你们根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生概括椭圆的定义) 生：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．

师：对,椭圆的定义就是: 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.下面我们来看看, MF1+MF2小于等于F1F2的长度时,M点的轨迹是什么情况.(学生思考) 生：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2. 生：应该有两种情况: 若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在. 师：也就是说: 若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(强调MF1+MF2是定长但是大于|F1F2|) 【学情预设】学生间合作交流，完成对椭圆定义的归纳．

【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力．

（三）深入探索，推导方程

师：接下来你们试试推导椭圆的方程.（简单回顾求圆的方程的方法和步骤）

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件

P（M）；

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②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要讲．因为x2y2ac，所以令bac，其中b＞0,代入上式，得221（ab0）. ab222这说明椭圆上点的坐标满足以上方程，关于证明所得的方程是椭圆方程，可参考课本62页的证明，根据情况也可从略）

x2y2师：因此，我们将方程221（ab0）叫作椭圆的标准方程，焦点坐标abF1(c,0),F2(c,0)，其中c2a2b2. 师：那么像方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢? y2x2生:只需要将x,y互换就可以了,应写成221(ab0)，同样有c2a2b2. ab师:很好,今天我们学习了椭圆的定义以及如何推导出椭圆的标准方程. （四）指导应用，鼓励创新

师:我们假设地球是个球体,半径是6371千米,而且知道“东方红一号”的近地点：430千米；远地点：2075千米,你们能建个坐标系,求出“东方红一号”运行轨道的标准方程吗?这个问题留给同学们课后完成. 【学情预设】当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引导下，利用掌握的相关知识解决了实际生活问题．

【设计意图】设计一道卫星运行轨道轨迹的方程的例题，不仅与开头遥相呼应，而且可以巩固新知识，加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活．

师:现在我们来做两个练习(投影仪展示例题). 例1:已知B、C是两个定点, BC10,且△ABC的周长等于22,求顶点A满足的一个轨迹方程. 例2:下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是( ) x2y2y2x2x2y2x2y21与1 B. 1与1

A. 42424284x2y2x2y2x2y2x2y21

1与221 D. 1与C. 4m2m424242第

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（六）布置作业

1.课本68页,习题3-1:第1、4题. 2.如何用几何图形解释c段的长? 板书设计

椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程

3.标准方程的应用

4.小结

标准方程推导过程

例题

2a2b2,a、b、c在椭圆中分别表示哪些线（七）教学反思

在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构．为了突破本节课的难点——椭圆概念的形成，在教学设计中，注重设计三个活动：第一个活动让学生感受亲手画出椭圆的过程，并培养学习的信心；第二个活动中将圆与椭圆两种曲线进行比较，为学生的自主探究活动提供了实物载体，并能体会成功带来的喜悦；第三个活动中，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台，三个活动有机结合，协调发挥作用，不仅使学生加深了对椭圆概念的理解，而且使课堂更加紧凑有序．为了突出本节课的重点，将圆与椭圆两种曲线进行比较，使学生通过变换坐标系的建立，逐步理解和掌握建系求曲线方程的步骤，强化学生求曲线方程的基本功．总之，在“以学生发展为核心”的理念和我校的教学模式下，在每个阶段的教学中都要必须精心设计问题情境，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间．

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