阅读与思考 “且”“或”“非”与“交”“并”“补”教学设计

“且”“或”“非”与“交”“并”“补”教学设计

湖北省荆门市第一中学 卢

瑞

一、教学内容解析

1．地位与作用：

本章是普通高中新课程标准实验教科书人教A版数学选修2-1的第一章，是常用逻辑用语的内容。逻辑是研究思维规律的学科，本章要学习的是数学中的常用逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要作用。学习数学需要准确全面的理解概念，正确的进行表述、判断和推理，这些都离不开逻辑用语。因此，常用逻辑用语是我们认识数学问题，研究数学问题不可缺少的工具性知识。

本节第一章第3节阅读与思考部分内容，是在前面几节研究了命题基本概念和简单逻辑联结词后，对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的另一种认识和解读。将其对照为集合中的“交”、“并”、“补”运算，既是对简单逻辑联结词的深化认识，也是学科内知识联系印证的一次重要实践，强化了命题和集合之间的联系，降低了理解上的难度。阅读与思考一般作为学生课下自主探究的内容，本节内容较为抽象，学生在独立理解起来难度较大。

2．教材处理顺序

教材在本节课后阅读材料的内容安排是：先提出问题三个逻辑联结词和三个集合运算关系之间有什么联系，激发学生思考。然后以“且”和“交”的一个具体例子，归纳出“且”与“交”在运算上的一致性关系。最后用同样的变式例子类比得出其他两个逻辑联结词和集合运算关系之间的一致性关系。这样的安排不仅体现出《课程标准》中由特殊到一般的数学概念形成理念，而且符合学生的认知规律，有利于学生对抽象概念间联系的理解。因本节课内容属于课下阅读与思考内容，主要以探究为主，没有设置相关的例题对结论进行运用和理解，在教学过程中适度增加应用内容，可以有效提高学生对于逻辑联结词和集合运算之间关系的理解。

3．数学思想方法

本节内容蕴含了：类比推理思想，归纳总结思想，转化化归思想。

4．核心素养培养

逻辑推理核心素养：从特殊到一般的推理是归纳推理，利用“且”与“交”的联系类比得出“或”与“并”，“交”与“补”的联系是类比推理，在此过程中学

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生能够掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力，培养了逻辑推理这一核心素养。

数学抽象核心素养：从例题当中抽象出逻辑联结词和集合运算之间的关系，得到一般性结论，培养了学生的数学抽象核心素养。

二、教学目标和重难点

1．教学目标

（1）

知识与技能目标：

①理解逻辑联结词“且或非”与集合运算关系“交并补”的联系；

②掌握并运用命题与集合运算之间的转化关系。

（2）

过程与方法目标：

①通过逻辑联结词和集合运算之间联系的推导过程，体会数学学科内知识之间的联系；

②通过特殊到一般的推导过程，体会数学概念的形成过程；

③通过“且”与“交”关系推导类比得出“或”与“并”关系推导，体会类比推理的数学思想方法。

（3）

情感、态度和价值观：

①通过师生、生生合作探究学习，增强学生团队协作能力，增强合作交流的意识。

②通过课前问题提出和课中问题式教学手段激发学生的求知兴趣。

2．教学重点

（1）

理解逻辑联结词和集合远算符号之间的关系；

（2）

运用两者之间的联系转化命题问题，解决命题问题。

3．教学难点

逻辑联结词和集合运算符号之间关系的理解。

三、学生学情分析

1．学生已有的认知基础

授课班级学生为荆门市第一中学高一年级学生。

集合语言的研究和运用早在刚进入高中时就已经进行深入教学，学生运用较为熟练。简单的逻辑联结词在前面两节课也刚接触了，学生理解起来无较大难点，

- 2 -

本节课教学在高一年级学年末期，学生在此之前对高中数学知识学习方式有了一定的认知，逻辑推理能力，归纳总结能力，转化化归能力得到了有效的锻炼，具备了一定的高中数学学科素养。

2．学生存在的难点

将两个表面概念上无较大联系的数学知识放在一起，学生在探究其内在联系的过程中会有理解上的困难，无从下手。在理解了逻辑联结词与集合运算符号的关系后，如何将其运用到实际的数学问题当中，这是学生没有经历过的新知识，实际运用起来会有门槛。

3．突破策略

引例提出问题，由教师引导学生观察命题语言和集合语言表述同一问题的异同点，归纳总结对应关系，然后进行类比，小组合作交流，在小组讨论中加深理解，归纳出其他几个关系，最后在例题运用中深化理解。

四、教学策略分析

1．内容突破策略

本节课新知内容分四大板块：一是由学生现有的认知基础得出笼统的对应关系，然后教师通过例题将两种语言表述的同一含义问题列出，引导学生观察得出“且”与“交”的内在联系，最后总结出可用在实际解题操作中的实用性结论。二是由“且”与“交”的研究方法类比得出“或”与“并”，“非”与“补”的结论。同样用例子进行对比，方法与前面的研究方法具有一致性，便于学生自己探究。三是用得到的实用性结论将命题问题转化成集合问题，用集合运算解决，最后还原为命题语言，降低了问题的难度。四是问题深化，利用集合与逻辑语言之间的联系破解复合命题的否定这一难点，与课前提出的问题相呼应。

2．启迪学生思维策略：

在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主观察、自主探究、合作交流的学习方式，力求体现教师的引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位。

以问题探究教学模式，在教学设计中更多的关注学生学习过程，重视课堂结构的完整性，问题设置力求做到前后呼应，有始有终；重视知识结构的生成性，问题设置层层递进，做到符合学生的认知规律；重视学生思维的多样性，同样的问题允许学生运用不同的方法去解决，相互印证，发现优劣，在此过程中加深对于所学知识的理解与认知。

五、教学过程

教学过程

- 3 - 设计意图

一、问题引入，回顾旧知

1．用实际问题引入激发1．提出问题“甲是足球队队员且是篮球队队员”这个学生学习兴趣。

复合命题的否定是什么？

（学生思考，举手发言分享）

2．不同答案设疑，保持学生学习新知的动力。

2．回顾简单逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义。

3．且或非、交并补定义（学生回答，其他学生补充完善）

为本节基础知识。

二、导入新课，探究新知

1．认识宏观对应关系

1．宏观认识两者联系，①逻辑联结词“且或非”与“交并补”有什么联系？

降低学生认知难度。

②分别是怎样的对应关系？

③具体是怎么样对应的？

（教师提问，让学生思考，说出第一想法）

2．观察具体对应关系

引例1：

2. 从整体到局部，从抽象到具体，符合学生认知规律。

①已知命题p：2是偶数，命题q：2是素数，

p∧q：3．从具体实例当中找命2是偶数且是素数，判断p,q,p∧q的真假。

题语言和集合语言对应②已知集合P={偶数}，Q={素数}，判断2是否为P∩关系，有利于学生理解和Q中的元素。

掌握。

提出问题①：观察上述两个问题，试写出推导过程？

（学生观察引例1，判断作答）

提出问题②：能否将判断过程以表格形式列出来？

（教师引导学生分别列出推导过程、板书）

4. 以表格形式列出两种问题，更加直观明了。

5．通过学生主动观察认知，培养学生观察问题，提出问题③：观察两个推导过程，发现这两个结论推分析问题的能力。

导过程中有什么对应关系？

（学生观察，举手回答，其他学生补充完善）

引例2：

- 4 -

①已知命题p：3是偶数，命题q：3是素数，

p∧q：3是偶数且是素数，判断p,q,p∧q的真假。

②已知集合P={偶数}，Q={素数}，判断3是否为P∩

Q中的元素。

6．由同类型问题的改动提出问题④：观察本例，与引例1有什么区别，又能分析，突出关键知识的关发现哪些新的对应关系？

键点，培养学生的迁移应（学生类比引例1的分析过程，分析引例2的对应关用能力。

系，找出新的关系）

初步结论：

命题p 集合P 命题q 集合Q 真

∈

且

∩

假

∉

7．由单一对应关系归纳3．归纳总结实用性结论

提出问题：“且”连接的命题的真假与对应元素是否属总结出可用于解题的一于集合有什么关系？

（教师提问，学生归纳总结）

实用性结论：

致性结论，将理论知识具体化，方法化，加深了学生对于两者间关系的理解。

三、类比运用，自主探究

1. 探究：“或”联结的命题与“并”运算的关系

1.

通过“且”与“交”的预设问题：①“或”联结的命题真假与元素是否属于研究引导学生类比研究“并”运算后的新集合是否有关？

“或”与“并”，“非”与预设问题：②大家能否类比“且与交”的关系推导过“补”的关系，更有利于程，找出“或与并”和“非与补”的具体对应关系呢？

学生自主研究，深化理（将引例1、2中“且”改成“或”，“交”改为“并”）

解。

（学生分组讨论，组内完善结论，学生展示讲解）

2.

讨论完善结论：

2.

小组合作探究，培养了问题①：逻辑联结词“或”对应集合运算中的什么？

学生的合作意识和动手问题②：逻辑联结词“非”对应集合运算中的什么？

能力。

问题③：他们所对应的实用性结论是什么？

- 5 -

结论：

命题p 集合P

（学生质疑，学生讨论完善，最终形成结论）

四、例题巩固，实践运用

例1：已知命题p：

x

2



2

x



3



0

，

x

满足命题q：

x

满足

x

2



x



6



0

，

（1）若p∧q为真，求x范围。

（2）若p∨q为真，求x范围。

（提出问题，学生思考，举手回答思路）

法一：先判断p、q真假，然后求范围（传统方法）

法二：直接将复杂命题真假转化为集合语言

命题q 集合Q 或

∪

非

补

3. 鼓励学生质疑查漏补缺，了解知识的形成过程，培养严谨的科学研究方法和数学思维。

1. 以具体的例题来应用探究所得结论，加深认识的同时，让学生体会数学知识并非无根之水。

2. 一题多解，比较教学，反思问题：①第一种方法和第二种方法有什么区别，丰富学生思维的同时进哪种方法更简洁明了？

行比较印证，凸显出利用反思问题：②如果复合命题的真假更加复杂，又该怎实用性结论解题的优势。

么处理呢？

（教师提问，学生思考作答）

例2：（变式训练）若pq为真，求x的范围

3. 变式训练设置，突出重点知识，降低学生认知难度，加快课堂教学节奏。

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反思问题：本题是否适合分类讨论p、q的真假，用方

法一解决？

（教师提出问题，学生分小组讨论变式，举手作答）

（注意引导学生进行非p的转化）

例3：命题p：函数ycx在R上单调递减，

命题q：x22x94c在x1,2上恒成立，4. 层层递进的例题设置，

若pq为真，pq为假，则c的取值范围。逐步丰富知识内容，先易后难，先点后面，易于学生动手实践，便于学生理解实用性结论，形成使用所学结论的思维。

（教师提问，分组讨论，学生到黑板展示讲解）

生一：（传统方法：先判断，后分类）

生二：（运用实用性结论）

命题p：

0c1

4cx2x9

命题q：

命题q：

c22

min,x1,2

pq：c(0,1)(,2),即c(,2)

pq：c(0,1)(,2),即c(0,1)∵pq为真，pq为假

c(-,2)c,01,

c,01,2

5. 学生板书讲解，有助于发现学生理解知识过程中存在的漏洞和偏差，不同学生纠错，让课堂气氛反思问题：①试比较法一法二优劣？

反思问题：②处理集合型复合命题问题的重点步骤是更加活跃，体现了学生的什么？

（教师提问，学生归纳总结，其他学生补充）

结论：处理集合型命题问题应该注意

1.将命题转化为对应的集合形式

2.将含逻辑连接词的命题利用一致性关系转化为对应集合关系

（教师引导学生归纳总结解题重点思路）

主体地位。

6. 归纳总结集合型命题问题解题重点，形成固定的结论和方法，方便学生把握重难点，同时培养了学生归纳总结问题的能力。

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五、首尾呼应，知识升华

例4：

（1）已知命题p：甲是足球队或篮球队队员，



1. 回到本节课所设疑问，保持课堂环节的完整，同p： ？

命题 全集为U，AUB的补集是什么？

（教师提出本节课引例问题，学生思考作答）

（2）已知集合A={足球队成员}，集合B={篮球队成员} 时

激发学生解决问题的兴趣，加深对命题语言和集合语言间转化的应用。

递进问题①：命题p与之前我们认识的命题有什么不

同之处？

递进问题②：第二问中集合关系，补集求法用什么方2.利用venn图研究集合法分析更简洁？

问题，更加直观，培养学递进问题③：问题一与问题二为同一问题的两种不同生数形结合的思维素养。

语言表述，能否找到他们之间联系？

分析问题：

转化问题：

归纳结论：复合命题否定方式

命题pq的否定：pq

命题pq的否定：pq

（教师引导，学生讨论，学生归纳，学生补充）

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3.

将命题的问题转化为集合问题，最后重新将集合结论还原为命题结论，将复杂问题简单化，让学生在集合语言与命题语言的不断转化中体会两种语言的联系。

4. 归纳总结复合命题否定方式，突破难点，让学生体会数学知识之间的内在关联。

六、课堂小结

问题：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获. 1．知识内容与技能收获：

（1）且或非与交并补形式上的一致性对应关系。

（2）具体的运算中的实用性转化关系。

（3）解决范围型命题的一般步骤。

（4）复合命题的否定方法。

2．数学思想和方法：

（1）数形结合、分类讨论、类比归纳思想；

（2）逻辑推理、数学建模核心素养。

（学生举手回答，其他学生补充回答）

七、课后巩固练习

课后练习《“且或非”与“交并补”练习》

七、板书设计

阅读与思考：

“且或非”与“交并补”

一、且或非与交并补对应关系。

二、运算中的实用性转化关系。

三、解决范围型命题的一般步骤。

1.先将命题转化为对应的集合形式

2.再将含逻辑连接词的命题转化为对应集合关系

四、复合命题的否定方法。

1．巩固本节课所学内容，培养学生归纳概括总结能力。

课后作业巩固所学内容

三、例题讲解

例1：

例2：

例3：

例4：

命题pq的否定：pq命题pq

p



q

的否定：

六、教学反思

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通过本节课的学习，学生在学习方式上都有所变化，课堂上能积极主动参与教学活动，提高了对逻辑联结词“且或非”的理解，从教学目标的要求出发，较顺利地完成学习任务。

本节课应该突出的核心数学思想方法是：命题语言和集合语言间的一致性联系，可以通过一致性联系将命题问题转化为集合问题进行研究，最后将结论还原为命题。在转化问题的过程中要加强应用和理解。

在教学方法上，以问题串的形式增加学生的课堂参与度，培养学生层层递进研究问题的能力和逻辑思维能力，但是要注意及时的点评和调度，防止学生思维跑偏，适时的止损止措有助于思维体系的形成。

在核心素养培养上，在教学中不能单纯的为解决数学问题而讲解数学，要引导学生体悟数学思维，体悟数学知识之间的内在联系，在探究中攻城拔寨，形成自己的一套研究问题的方法，并运用这套方法去解决新的问题。本节课有效培养了学生数学抽象、逻辑推理、直观想像等核心素养。

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