习题2.2课时教学实录

对数与对数函数

1．对数的概念

如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

(2)换底公式：logab＝logcb(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

logca(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

M②logaN＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．对数函数的定义、图象与性质

定义

函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫作对数函数

a＞1

图象

定义域：(0，＋∞) 值域：R

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0；

当x＞1时，y＞0 在(0，＋∞)上为增函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

[知识拓展]

对数函数的图象与底数大小的比较

1 0＜a＜1

当0＜x＜1时，y＞0；

当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为减函数

多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．

如图2-6-1，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.

图2-6-1 [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(

) (2)log2x2＝2log2x.(

) (3)当x＞1时，logax＞0.(

) (4)函数y＝ln1＋x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(

) 1－x(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，－1，函数图象不在第二、三象限．(

) [答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

2．(log29)·(log34)＝(

) 1A．4

C．2

1B．2

D．4 lg 9lg 42lg 32lg 2D

[原式＝lg 2·lg 3＝lg 2×lg 3＝4.] －133．已知a＝211，b＝log23，c＝log13，则(

) 2B．a＞c＞b

D．c＞a＞b

A．a＞b＞c

C．c＞b＞a

2

－D

[∵0＜a＝2＞a＞b.] 13111＜20＝1，b＝log23＜log21＝0，c＝log13＞log12＝1，∴c2234．(教材改编)若loga4＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(

) 3A．0，4

30，C．∪(1，＋∞)

4B．(1，＋∞) 3D．4，1

33C

[当0＜a＜1时，loga4＜logaa＝1，∴0＜a＜4；

3当a＞1时，loga4＜logaa＝1，∴a＞1. 3即实数a的取值范围是0，4∪(1，＋∞)．] 5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过的定点是________．

(2,2)

[当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．] (对应学生用书第23页)

11

(1)设2＝5＝m，且a＋b＝2，则m等于(

) ab对数的运算

A．10

B．10

C．20

D．100 －21(2)计算：lg 4－lg 25÷100＝________.

1(1)A

(2)－20

[(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，

1111∴a＋b＝logm＋logm＝logm2＋logm5＝logm10＝2，

25∴m＝10. 3

11－2(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×1002＝lg 22·2×10＝(lg 10)×10＝－2×10＝5－20.] [规律方法]

对数运算的一般思路

1拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. 2合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 3转化：ab＝N⇔b＝logaNa＞0，且a≠1是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. [跟踪训练]

(1)(2018·云南二检)已知函数f(x)＝lg(1＋4x2－2x)＋1，则f(3)＋f(－3)＝(

) A．－1

C．1

B．0 D．2 (2)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________. 5(1)D

(2)

[(1)f(3)＋f(－3)＝lg(37－6)＋lg(37＋6)＋2＝lg[(37－46)(37＋6)]＋2＝lg 1＋2＝2，故选D．

lg 2lg 2lg 3lg 3＋

(2)原式＝lg 3＋lg 9·lg 4lg 8lg 3lg 2lg 2lg 32lg 2＋3lg 2

＝lg 3＋2lg 3·3lg 25lg 35＝2lg 3·6lg 2＝4.]

(1)(2017·广东韵关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(

) 对数函数的图象及应用

4

log2x，x＞0，(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)＋x3，x≤0，－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.

(1)C

(2)(1，＋∞)

[(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(xlog2x＋1，x≥0，＋1)|＝∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)－logx＋1，－1＜x＜0，2＝0；当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递减．故选C．

法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2，

∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函数g(x)是由函数y＝|log2x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选C．

(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]

[规律方法]

利用对数函数的图象可求解的两类问题

1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时，常利用数形结合思想求解. 2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. [跟踪训练]

已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图2-6-2，则下列结论成立的是(

)

5

图2-6-2 A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D

[由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c＜1.]

◎角度1

比较对数值的大小

(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则(

) A．logac＜logbc

C．ac＜bc

B．logca＜logcb

D．ca＞cb

对数函数的性质及应用

B

[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；

∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，

∴logca＜logcb，B项正确；

∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，

又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；

∵0＜c＜1，∴y＝c在(0，＋∞)上单调递减，

又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．] ◎角度2

解简单的对数不等式

若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，当g(lg x)＞g(1)时，则x的取值范围是________．

10，10∪(10，＋∞)

[当g(lg x)＞g(1)时，f(|lg x|)＞f(1)，由f(x)为增函数得1|lg x|＞1，从而lg x＞1或lg x＜－1，解得0＜x＜10或x＞10.] ◎角度3

探究对数型函数的性质

x6

已知函数f(x)＝log4(ax＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

[解]

(1)∵f(1)＝1，

∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f(x)＝log4(－x＋2x＋3)．

由－x＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，

函数f(x)的定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x＋2x＋3，

则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，

则h(x)＝ax＋2x＋3应有最小值1，

a＞0，因此应有3a－1＝1，a22222

1解得a＝2. 1故存在实数a＝2使f(x)的最小值为0. [规律方法]

对数值大小比较的主要方法

1化同底数后利用函数的单调性. 2化同真数后利用图象比较. 3借用中间量0或1等进行估值比较. 易错警示：利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，注意对数性质的正用、逆用、变形用. 7

[跟踪训练]

(1)已知a＝log29－log23，b＝1＋log2(

) A．a＞b＞c

C．c＞a＞b

B．b＞a＞c

D．c＞b＞a

17，c＝2＋log213，则(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．

8(1)B

(2)1，3

[(1)a＝log29－log23＝log233，b＝1＋log27＝log227，1c＝2＋log213＝log226，因为函数y＝log2x是增函数，且27＞33＞26，所以b＞a＞c，故选B．

(2)当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由于f(x)＞1恒成立，所8以f(x)min＝loga(8－2a)＞1，故1＜a＜3. 当0＜a＜1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是增函数，由于f(x)＞1恒成立，所以f(x)min＝loga(8－a)＞1，即a＞4，且8－2a＞0，a＜4，显然这样的a不存在．

8故a的取值范围为1，3.] 

8