小结课时教学实录

【幂函数】教学设计

新洲一中

张金铃

2.3.1幂函数

1.知识与技能

通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 2.过程与方法

使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到掌握研究幂函数性质的一般方法. 3.情感、态度、价值观

通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。

【教学重点】幂函数的概念、图像和性质. 【教学难点】将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括成函数的性质. 【教学方法与手段】自主探究，合作交流，借助多媒体

【教学基本流程】 从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→

画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→

应用举例和课堂练习→小结与作业

【教学过程设计】

（一）实例观察，引入新课

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数 （y=x）

1

(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数

（y=x2）

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数

（y=x3）

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a=S a是S的函数 （y=x）

(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数 （y=x-1）

问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?

学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.

1212（二）类比联想，探究新知

1.幂函数的定义

一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，

其中x为自变量，ɑ

为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x y=（x+1） y=x2+1 是否为幂函数）

22 2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）

2

不妨也找出典型的函数作为代表：

y=x y=x y=x y=x y=x-1

4(-2,4)3(2,4)y=x让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像 y=x2 323 12y=x12y=x2(4,2)(1,1)2(-1,1)-21y=x-146(-1,-1)-1-2

问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？

-4

学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.

问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？

学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.

教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减。

问题五：所有图像都过哪些点，为什么？

3 -3

学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.

问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？

学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.

问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？

学生反应：当01时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.

教师活动：在01时，指数大的函数值就大.

【总结】幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：

1

23-1函

2y=x

y=x

y=x

xy=

y=x 数

性

质

定义域

值域

单调性

奇偶性

公共点

R R 增

奇

R [0，+∞) (-∞,0)增

[0，+∞)减

偶

R R 增

奇

（1,1）

[0，+∞) [0，+∞) 增

{x︱x≠0} {y︱y≠0} (-∞,0)减

（0+∞)减

非奇非偶

奇

（三）新知应用

【例1】利用幂函数性质，作出下列幂函数图像. (1)yxyx32 (2)32yx23

23(3) (4)yx

4 

【例2】比较下列各组数种两个值的大小

（1） 5.20.2 5.20.1 0.90.93.23.7 （2）

2.53.51.71.8 （3）

【例3】若(m4)合。

（四）课堂小结，归纳提升

（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质. （2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.

（五）课后作业，巩固训练

（六）教学反思

本节课从设计上主要为了体现新知和方法的构建过程，在学生的作业

和课后反应来看，对本节课的知识内容和思想方法掌握还算不错，不

过在对立体的讲解和选题上感觉还过于浅显，不易达到学生能力提升

的教学目标.

5 12(32m)12，

求满足条件的实数m的集