3.4.1 函数与方程公开课教案

课题：《函数与方程——方程的根与函数的零点》

授课教师：兴化市戴南高中

朱菊芳

教材：高三一轮复习 一、教材分析

（一）内容

本节课是苏教版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第三章《指数函数、对数函数、幂函数》第三节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．

（二）地位

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

（三）教学目标

1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．

2.通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．

3.在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

（四）重点、难点

重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．

难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．

二、学情分析

经过前一段时间的复习，学生已经掌握了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高三学生，之前高一学习的内容相隔时间久远，遗忘比较多，在本节课的复习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

三、教法、学法与教学手段

在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

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在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台．

在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣．二是配以我校特色的导学案，它能带动学生激活思维，又能有效提升从“已知”到“未知”的能力迁移，还能记录学生整堂课的思维过程．

四、教学过程

为了达到突出重点，突破难点的目的，在教学过程上，我设置了七个环节：

（一）、基础练习，回顾概念。

1.作出

函数f(x)＝x－3x＋2的图像，并求方程x－3x＋2=0的根. 一元二次函数与一元二次方程的关系：

2. f(x)=2－1的零点为___ _____．

3. f(x)=lgx 的零点为___ _____．

函数零点的定义：

4.(必修1P111复习题13改编)已知函数f (x)＝2+3，那么函数f (x)的零点个数为________．

5.(必修1P75例1改编)对于二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)，若ac<0，则该函数的零点个数是________．

2x22x 函数的零点：对于函数yfx，我们把使fx0的实数x叫做函数yfx的零点．

归纳：函数yfx的零点就是方程fx0的根，也就是函数yfx的图象与x轴交点的横坐标．

所以：方程fx0有实数根函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点．

【设计意图】此环节的设置，是因为我在以前的教学过程中发现，学生经常将零点写成坐标点的形式，通过学生对这一环节的解决，加上老师及时进行点评和纠正，让学生从错误中加深对零点定义的理解．通过此环节，可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标．

6．判断函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点？如果有，那么有几个？

（二）、合作探究，理解定理。

问题：

已知函数fxlnx2x6

，此函数是否有零点？有几个？试确定零点所在的区间？

【设计意图】在思考设置这一环节时，我注意到了教科书是利用二次函数进行的的探究，但结合以往的教

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学经验，课本上的探究只能达到揭示定理的目的，对于“定理的充分非必要性即函数在区间上有零点但不一定有端点函数值异号”这一难点却无法进行突破。因此我改为让学生合作讨论，学生在探索交流过程中，可能出现把函数化归成两个初等函数的图象，通过图象交点个数解决原函数零点的个数，也可能利用绘制原函数的图像及单调性求解零点个数。教师选择有代表性的探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，以及分析出现上述多种可能结果的原因，达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，突破了难点．

定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么，函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根．

问题：

（1）

函数y=f(x)在区间a,b上连续且f(a)f(b)>0,则f(x)在（a,b）一定无零点吗？

（2）

函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在（a,b）有零点，一定有f(a)f(b)<0吗？

（3）

函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0，则f(x)一定只有一个零点吗？什么条件下只有一个零点？

（4）

函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且若f(a)f(b)<0，则f(x)一定有奇数个零点吗？

（5）

函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续能改成在（a,b）上连续吗？

函数yf(x)g(x)的零点可以看成是___________与_________图象交点的横坐标．

（三）、题组训练，强化巩固。

【典型例题】

例1．判定函数零点的存在性：判断下列函数在给定区间上是否存在零点．

（1）f(x)=x2-3x-18，x∈[1，8]；（2）f(x)=x3-x-1，x∈[-1，2]；

（3）f(x)=log2(x+2)-x，x∈[1，3]．

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例2．函数零点个数的判定：

x2＋2x－3，x≤0，（1）函数f (x)＝－2＋ln x，x>0

的零点个数是________．

2x的零点个数是________．

（2）函数2f(x)ln(x1)x的零点所在的区间是（n，n＋1）变式：若函数，则正整数n=___________．

f(x)ln(x1)例3.(2018泰州一模19(1))已知个数. f(x)21xlnxf(x)在（1，e），试讨论函数上零点2

【设计意图】立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力，三个反馈练习，使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点．

归纳：由于函数与方程的特殊关系，所以讨论函数零点个数问题常用的方法是：

（1）解方程；

（2）画图象；

（3）利用fafb0及函数的单调性．同时这些方法又是有机联系的．

（四）、反思小结，培养能力。

1．你通过本节课的学习，有什么收获？

（1）一个关系：函数零点与方程根的关系；

（2）两种思想：函数与方程思想，数形结合思想；

（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．

教师总结：函数零点方程根，数形结合转化神。端点y值积为负，函数连续要记准。

2．对于本节课学习的内容你还有什么疑问？

【设计意图】在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容概括一个关系，两种思想，三种题型．进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力．

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变式: （选讲）设a为常数，试讨论方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数。

x2－2，x≤0，思考：已知函数f(x)＝2x－6＋ln x，x>0

，若函数y=f(x)-m有两个零点，求实数m的取值范围．

（五）、课后检测，自我完善

11. 函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数为________．

22．(2017·苏州期末)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是________．

3.已知定义在R上的偶函数y＝f (x)，当x≥0时，f (x)＝lg(x2－3x＋3)，则 f (x)在R上的零点个数为________．

4.函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为 ．

x2＋2x，x≤0，5.已知函数f(x)＝|lg x|，x>0，

则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为 ．

x16. (2018·苏州质检)已知函数f(x)＝－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．

27．下列函数中在区间［1，2］上存在零点的函数的序号是 ①f(x)=3x2-4x+5；②f(x)=x3-5x-5；③f(x)=mx-3x+6 ；④f(x)=ex+3x-6．

2，48．2019泰州二模11)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间上，

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2≤x3，2x，f(x)3≤x4，x4，则函数yf(x)log5| x|的零点的个数为 ．

9.高考真题再现（2015江苏高考13）

0，01，________．

10.（2018兴化市高一第一学期期中试卷20）已知f(x)axlnx, (1) 判断函数f(x)的单调性并证明；

af(e)2a

（2）求证：（3）求证：函数f(x)只有一个零点

五、评价分析

无论是问答式的提问，还是学生的课堂练习，或是学生的探究结果，都要给学生的答案一个肯定的评价，要求客观，真实，同时主要对学生给予激励。所以，本节课在评价方面主要采取激励性评价。

六、教学特色

本节课的设计，体现了我从教几年来，为了迎接新课改，走进新课程，在教师的教学行为和学生的学习方式进行的几点尝试：

1、重视对学生创新意识和实践能力的培养．给学生时间和空间，放手让学生实践．由性质的得出到课堂实验，教师始终关注每一位学生参与探究的全过程，完成教师角色的转变，教师真正成为学生活动的组织者、参与者、咨询者和合作者，只有完成这种角色的转变，才能更好的培养学生的创新意识和实践能力．

2、在数学活动中研究，在研究中体验，在体验中提高．数学教学是数学思维活动的教学．本节课力争让学生在数学活动中，独立探究，在探究中形成学习数学的亲身体验，进而内化为数学思想方法和数学观念．力求让学生“感悟到什么、经历到什么、体验到什么和收获到什么”这样一种理念，最终达到培养学生能力和提高学生素质的目的．

3、注重利用多媒体实物投影仪对学生的探究结果进行实时评价和反馈．

板书设计

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§3．1．1 方程的根与函数的零点

一知识回顾

二、方法总结

1、直接求：方程法

1、函数yf(x)的零点：不是一个点

2、画图像：主意转化

而是一个实数．

3、零点的存在性定理：

2、函数零点与方程根之间的三个等价关 注意连续性、单调性

系．

3、判定零点的存在性：

（1）函数是连续的．

（2）f(a)f(b)<0．

（3）至少有一个零点．

零点的唯一性：零点存在+单调性

4、函数yf(x)g(x)的零点

例1 ……

例2 （1）

（2）

（3）

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