习题1.2教学实录

函数及其表示单元复习教学设计

【考纲解读】

考纲内容

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

五年统计

分析预测

1．分段函数的应用

2．简单函数的定义2018课标Ⅰ，13 域和值域

3．备考重点：

（1）根据实际问题2018课标Ⅰ，12 确定函数的解析式；

了解简单的分段函数，并能简单应用．

2017课标II，12 （2）以分段函数为考

点

考点7函数的三要素

2．了解映射的概念．

3．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

考点8 分段函数及其应用

2015课标Ⅰ，10 背景考查函数与方程问2014课标I，15 题．

【知识清单】

1.

函数与映射的概念

两个集合A，B 对应关系f：A→B 名称

记法

函数

设A，B是两个非空数集

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数y＝f(x)，x∈A 映射

设A，B是两个非空集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

映射：f：A→B

对点练习：

设集合【答案】

【解析】由映射定义得，集合A中的每个元素在集合B中对应的元素都有两种，故从A到B的映射共有个．

，，试问：从A到B的映射共有几个？

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

对点练习：

(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)

【答案】B 【解析】

A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2]．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

对点练习：

若函数满足关系式，则的值为（

）

A．

1

B．

-1

C．

【答案】A

D．

【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以，用代换，可得，联立方程组可得，故选A．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

对点练习：

【2018黑龙江模拟】已知函数【答案】8 【解析】由函数的解析式可得：答案为：

．

则__________．

，则．故【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

【重点难点突破】

考点1

映射与函数的概念

【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②是函数；③函数确的有(

) 的图象是一条直线；④与是同一个函数．其中正A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】

【1-2】设集合映射的是（

）

A．

D．

【答案】B

，则下列对应中不能构成到的

B．

C．

【1-3】下列两个对应中是集合

到集合

的函数的有________________．（写出符合要求的选项序号）

（1）设

（2）设

（3）设

（4）

，，，，对应法则

，对应法则

对应法则

；

；

除以

所得的余数；

．

，对应法则

【答案】（1）（3）

【领悟技法】

1．判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合唯一性”．

2．

判断一个对应f：A→B是否为函数，一看是否为映射；二看是函数，则是定义域，而值域是的子集．

，是否为非空数集．若中元素的任意性，集合中元素的3．

函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．

【触类旁通】

【变式一】下列函数中，与函数的定义域相同的函数为(

) A．

B．

C．

D．

【答案】D

【变式二】在下列图形中，表示y是x的函数关系的是________．

【答案】①②

【解析】由函数定义可知，自变量对应唯一的【变式三】已知函数【答案】

分别等于，求对应自变量的值，即得定义域为

值，所以③④错误，①②正确．

，则定义域为

．

的值域为【解析】由函数定义，令考点2

求函数的解析式

【2-1】已知【答案】是一次函数，且满足

，则________．

【2-2】已知【答案】【解析】(换元法)设

，则，∴，

，求

∴

【2-3】定义在．

内的函数满足，求

【答案】【解析】(消去法)当以代替得时，有，

，①

，②

由①②消去得，，．

【领悟技法】

1．已知函数类型，用待定系数法求解析式．

2．已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．

3．已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．

4．若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．

5．应用题求解析式可用待定系数法求解．

6．求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．

【触类旁通】

【变式一】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(

) xx＋3x＋4x＋5A．y＝10

B．y＝10

C．y＝10

D．y＝10

【答案】B

11【变式二】已知fx＝x2＋x2，则________．

【答案】

12111【解析】（配凑法）

(1)fx＝x＋x2＝x－2，又x＋x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，

∴．

考点3

分段函数及其应用

【3-1】已知函数，若，则实数a的值为( ) A．－3

B．－3或1

C．1

D．－1或3 【答案】B 【解析】∵，∴，当a＞0时，lg a＝0，a＝1．

当a≤0时，a＋3＝0，a＝－3．所以a＝－3或1．

【3-2】【2018江西新余模拟】设函数【答案】12 【解析】=．故答案为12．

【名师点睛】（1）本题主要考查分段函数求值，考查对数的运算和对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力．(2)解题的关键是判断的大小关系．

【3-3】【2018河北武邑模拟】若函数__________．

【答案】

的值域为，则的取值范围是与3，所以则的值为________ ．

【解析】∵f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，即满足：，解得：﹣≤a．故答案为：．

【名师点睛】本题考查了分段函数的值域问题，求值域要抓住定义域为出发点，要使值域为R，其中一个函数值域为（，+∞），那么（﹣∞，]必须是另一个函数值域的真子集．即可得到答案．属于中档题．．

【领悟技法】

1．因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．

2．“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．

【触类旁通】

【变式一】【2018江西师范附中模拟】已知函数，若，则A．

B．

（

）

C．

D．

【答案】A

【变式二】【2018四川成都七中模拟】已知函数值为（

）

A．

0

B．

-1

C．

-2

D．

-4 【答案】C 【解析】因为函数是奇函数，，故选C．

【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题．对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰．

，是奇函数，则的易错试题常警惕

易错典例：已知函数(

) A．

B．

C．

D．

且），则的值域是

易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选正确解析：由已知得函数，，

．

，则，的定义域为，所以函数的值域为．故正确答案为．

温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则．当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定．

数学素养提升之思想方法篇

分段函数求值妙招——分类讨论思想

分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．

分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：

(1)明确分段函数的分段区间．

(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．

(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．

【典例】已知实数为________．

，函数，若，则的值【答案】