小结课时教学实录

函数小结

1．函数：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．

一对一（

）； 多对一（

）； 一对多（ ）

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1； (5)指数为零底不可以等于零；(6)实际问题的定义域还要保证有意义。

练习：

例

函数yx2的定义域是

x3x2例

函数y3x4x的定义域为

（ ）

A．[4,1]

B．[4,0)

C．(0,1]

D．[4,0)(0,1]

例

函数f(x)的定义域为[0，1]，函数f(x1)的定义域为

（ ），函数f(x2)的定义域为（

3. 相同函数的判断方法：①表达式相同②定义域一致(两点必须同时具备) 例

下列四组函数中，表示相等函数的一组是

(

) A．f(x)x0,g(x)1 B．f(x)x,g(x)lg10x

C．2f(x)x1,g(x)x1 D．f(x)x2,g(x)x

x14．值域 : 先考虑其定义域（结合基本的几类函数）

例

函数f(x)2x26x2x2的值域是

（ ）

A．20,32 B．20,4 C．20,9 D．

92220,2

例．已知函数f（x）x2x1,x0,32的最值是（ ）

Ａ、有最大值３／４，但无最大值

Ｂ、有最小值３／４，有最大值１

Ｃ、有最小值１，有最大值１９／４

Ｄ、无最大值，也无最小值

5.（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）区间的数轴表示．

6、分段函数--含绝对值函数一般转化为分段函数 P21 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2) 值域是各段值域的并集．

(3)最小值：取各区间的最小值中的最小。

最大值：取各区间的最大值中的最大。

例．已知函数f（x）x4,（x0）x4,（x0）,则f[f（3）]的值是

f(x)x2例．已知函数9,x0,若f(a)8，则a

2x,x0.

）

fx5

（x0）f（x）,则f2012的值是

例．已知函数（x0）x5,

7.函数的单调性（结合几类基本函数）

（1）增函数：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

(2).函数单调区间与单调性的判定方法

1) 定义法：（a)任取x1，x2∈D，且x1

（d)判断差f(x1)－f(x2)的正负； （e)下结论

2)图象法(从图象上看升降) 3)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，称为f、g的复合函数。

复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

例

下列函数中，在区间0,上是增函数的是（ ）

xA .yx2

B .y1 C. y1 D. ylog2x

x2例

函数y(k2)x1在R上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）

A、k2 B、k2 C、k2 D、k2

例

下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2（0，），当x1f(x2)的是

（ ）

A．f(x)=1x B. f(x)=(x1)2 C .f(x)=e D f(x)ln(x1)

x

9．函数的奇偶性 （1）偶函数:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x);

（2）奇函数对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x); （3）偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；(关键一步) ○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =○－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

例．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(0) ，f(2) ．

例.

若函数fx3x3x,gx3x3x的定义域为R，则（　　）　

A.C.fx,gx都是奇函数fx是偶函数,gx是奇函数B.D.fx,gx都是偶函数fx是奇函数,gx是偶函数

例

下列函数的图像关于原点对称的是（ ）

1x1x2x21A.y3x2B.yC.yD.y

21x1xx例

已知偶函数fx在a,b上是减函数，且最大值为5，则fx在b,a上是（

）

Ａ．减函数，最大值为５

Ｂ．增函数，最大值为５

Ｃ．减函数，最小值为－５

Ｄ．增函数，最小值为－５

例

设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb（b为常数），则f(1)（ ）

（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 10、函数的解析式：一是要求它们之间的对应法则，二是要求函数的定义域.

求函数的解析式的主要方法有：

1)

待定系数法 2）换元法

例

已知函数f(x)x2bxc,且f10,f30,则函数的解析式为例

已知函数f(x1)x24x，求函数f(x)，f(2x1)的解析式