单项式乘以多单项式全国优秀课堂实录

第课时

1.通过探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,在具体情境中了解单项式与多项式相乘的意义,理解运算法则.

2.会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算.

理解单项式乘多项式运算的算理,发展学生有条理的思考能力和语言表达能力.

在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中获得成就感,激发学习数学的兴趣.

【重点】

单项式与多项式相乘的运算法则及其应用.

【难点】

灵活运用单项式与多项式相乘的运算法则.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P16~17.

导入一:

[过渡语]

上节课我们学习了单项式乘单项式,哪位同学能举例说明它是怎样计算的? [处理方式]

先想一想,同桌间互相说一说单项式与单项式相乘的法则:把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.

问题1 计算.

(1)- m2·m2;

(2)(xy)3·xy2; (3)(- 2a3b)·(- 6ab6c); (4)2xy2·3yx.

[处理方式]

学生独立在练习本上写出解题过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,找部分学生板书解题过程.

解:(1)- m4. (2)x4y5. (3)12a4b7c. (4)6x2y3.

问题2 本章我们学习的内容是整式的乘除,整式包括什么? (1)单项式和多项式统称整式.

(2)几个单项式的和叫做多项式,整式乘法除了单项式乘单项式外,还应该有单项式乘多项式和多项式乘多项式.

问题3 京京精心制作的两幅画我们上节课已欣赏过.宁宁不甘落后,也制作了一幅画(教师课件展示),所用纸的大小与京京的相同,她在纸的左右两边各留了x m的空白,这幅画的画面面积是多少?

[处理方式]

学生在练习本上表示这幅画的面积,教师巡视,发现学生的不同表示方法.几位学生展示自己的结果并说明自己的思考方法.

生1:面积为x -

平方米; 生2:面积为

-

平方米.

【思考】

如何计算x· -

呢? 这就是我们这节课要研究的单项式与多项式相乘的问题.

[设计意图]

利用上节课学习过的知识学生很容易得到答案,激发学生学习兴趣.

导入二:

[过渡语]

上节课我们学习了单项式与单项式相乘.请同学们利用学过的法则完成下面的题目.

1.计算.

(1)3a2b·2abc·abc2; (2)

-

·(- 2m2n)4.

[处理方式]

首先引导学生回忆单项式乘单项式的运算法则,然后让两学生板书,其余学生在练习本上完成,小组交流,发现问题,师生共同纠正.

2.写一个多项式,并说明它的次数和项数.

(m+n- p的次数为一次,项数为三项) 3.师:整式包括什么? 生:单项式和多项式.

师:整式的乘法,上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘.整式的乘法还应包括哪些内容呢? 生:单项式与多项式相乘及多项式与多项式相乘.

师:我们这节课就接着来学习整式的乘法中单项式与多项式相乘.

[设计意图]

单项式乘多项式最终转化为单项式乘单项式,所以帮助学生理解单项式与多项式的联系非常重要.问题的设计是让学生从宏观上把握所学知识间的关系,不仅回顾了上节课所学知识,而且自然地复习了有关多项式的知识,为本节课的学习奠定了基础.

探究活动1

单项式乘多项式的运算法则

思路一

结合图片,由导入一的问题3回答下列问题:

(1)画面的面积有几种表达形式?它们之间有什么关系? (2)你能用学过的有关性质说明上面等式成立的原因吗? (3)ab·(abc+2x)和c2·(m+n- p)等于什么?你是怎样计算的? (4)如何进行单项式与多项式相乘的运算? [处理方式]

(1)先让学生通过不同的计算方式,得到x -

=mx2- x2这个等式.

(2)用乘法分配律、同底数幂的乘法性质说明其成立的原因.在这里要注意面积相等法的渗透.

(3)通过探究ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x和c2·(m+n- p)=c2·m+c2·n- c2·p的结果,让学生进一步明确单项式乘多项式的实质就是应用乘法分配律进行计算,并由学生总结得到法则.

(4)用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

[设计意图]

从实际问题出发,学生通过同一面积的不同表达方式,得到x -

=mx2- x2这个等式,然后再通过乘法分配律验证这一等式,从而很自然地得出单项式乘多项式的法则.在这里重要的是能够理解运算法则及其探索过程,体会运用乘法分配律将单项式乘多项式转化为上节课学习的单项式乘单项式,不必要求学生背诵法则.

思路二

问题1 你能运用乘法分配律计算ab·(abc+2x)及c2·(m+n- p)吗?你是怎样计算的?说明每一步的理由.

解:ab·(abc+2x) =ab·abc+ab·2x(乘法分配律) =a2b2c+2xab(单项式乘法的运算法则).

c2·(m+n- p) =c2·m+c2·n- c2·p(乘法分配律).

问题2 根据上面的分析,你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗? [处理方式]

要求学生先独立思考,再在小组内交流,之后全班交流.

展示交流成果: (1)单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

(2)单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,这样新知识就转化成了我们学过的知识.

[设计意图]

设置问题是让学生获得更充分的体验,为下面顺利归纳单项式与多项式的乘法法则铺平道路.多数学生明白怎么做,但是组织语言时不够简练,只要意思正确,教师都应加以肯定,再鼓励他们不断精炼语言,最后总结出单项式乘多项式的法则.

探究活动2

单项式乘多项式法则的应用

[过渡语]

同学们通过自己的探索得出单项式与多项式相乘的法则,那么大家能不能用法则来解决问题呢?

(教材例2)计算.

(1)2ab(5ab2+3a2b); (2)

- ·ab; (3)5m2n(2n+3m- n2); (4)2(x+y2z+xy2z3)·xyz.

[处理方式]

教师示范性板书(1)(2)两题,其余两题学生独立尝试完成,教师巡视批阅,根据巡视批阅中发现的问题,有针对性地讲解,并分析产生错误的原因.

教师示范性板书: 解:(1)2ab(5ab2+3a2b) =2ab·5ab2+2ab·3a2b——单项式乘多项式法则

=10a2b3+6a3b2.——单项式乘法的运算法则

(2)

- ·ab

=ab2·ab+(- 2ab)·ab——单项式乘多项式法则

=a2b3+(- a2b2)——单项式乘法的运算法则

=a2b3- a2b2.

展示学生解题过程: (3)5m2n(2n+3m- n2) =5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(- n2) =10m2n2+15m3n- 5m2n3.

(4)2(x+y2z+xy2z3)·xyz

=2x·xyz+2y2z·xyz+2xy2z3·xyz

=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4.

应用法则时要注意的问题: (1)单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同.

(2)单项式分别与多项式的每一项相乘时要注意积的各项符号的确定:同号相乘得正,异号相乘得负.

(3)不要出现漏乘现象,运算要有顺序.

追问:若将例题中第(3)题变为(- 5m2n)·(2n+3m- n2)如何做呢? [处理方式]

学生分组合作,讨论交流,类比数的运算律共同完成,教师巡视学生完成的情况,帮助学生解决问题.

教师展示解题过程,让学生对照自己的做法,加以对比,并说出做题的依据.

(- 5m2n)·(2n+3m- n2) =(- 5m2n)·2n+(- 5m2n)·3m+(- 5m2n)·(- n2) =- 10m2n2- 15m3n+5m2n3.

[知识拓展]

1.单项式与多项式相乘时,一定要按照顺序进行运算,否则容易造成漏项或增项的错误,尤其要注意不要遗忘多项式中的常数项.

2.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式,其项数与原多项式的项数相同.

1.单项式与多项式相乘,根据乘法分配律可以转化成单项式与单项式相乘;单项式与单项式相乘,根据乘法交换律和结合律可转化成同底数幂乘法的运算.

2.单项式乘多项式的运算法则:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

3.单项式乘多项式的注意事项: (1)单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同.

(2)单项式分别与多项式的每一项相乘时要注意积的各项符号的确定:同号相乘得正,异号相乘得负.

(3)不要出现漏乘现象,运算要有顺序.

1.判断题.

(1)3a4·(2a2- 2a3)=6a8- 6a12.

(

) (2)a·(a2+a+2)=a3+a2+1. (

) (3)- x2·(2y2- xy)=- 2x2y2+x3y.

(

) 2(4)(- 2x)·(ax+b- 3)=- 2ax- 2bx- 6x.

(

) 解析:(1)错,正确运算为3a4·(2a2- 2a3)=6a6- 6a7;(2)错,正确运算为a·(a2+a+2)=a3+a2+a;(3)对;(4)错,正确运算为(- 2x)·(ax+b- 3)=- 2ax2- 2bx+6x.

答案:(1)✕

(2)✕

(3)√

(4)✕

2.下列运算正确的是

(

) A.3x2(5x2- x3)=15x4- 3x6

B.- a(2a- b)=- 2a2- ab

C.- 3x(2x2y- 3y)=- 6x3y+9xy

D.- 2(a- 3b)=- 2a+3b

解析:选项A错误,3x2(5x2- x3)=15x4- 3x5;选项B错误,- a(2a- b)=- 2a2+ab;选项C正确;选项D错误,- 2(a- 3b)=- 2a+6b.故选C. 3.计算.

(1)(- 3x2)·(2x3+x2- 1); (2)

-

-

·(- 6xy2).

解:(1)(- 3x2)·(2x3+x2- 1) =(- 3x2)·2x3+(- 3x2)·x2+(- 3x2)·(- 1) =- 6x5- 3x4+3x2.

(2)

-

-

·(- 6xy2) =

-

·(- 6xy2)+y2·(- 6xy2)+(- x2)·(- 6xy2) =2x2y3- 9xy4+6x3y2.

4.已知ab2=- 6,求- ab(a2b5- ab3- b)的值.

解:- ab(a2b5- ab3- b) =(- ab)·a2b5+(- ab)·(- ab3)+(- ab)·(- b) =- a3b6+a2b4+ab2

=(- ab2)3+(ab2)2+ab2.

当ab2=- 6时,原式=(- ab2)3+(ab2)2+ab2

=[- (- 6)]3+(- 6)2+(- 6) =216+36- 6=246.

第2课时

探究活动1

单项式乘多项式的运算法则

探究活动2

单项式乘多项式法则的应用

例题

一、教材作业

【必做题】

教材第17页习题1.7知识技能第1题.

【选做题】

教材第17页习题1.7问题解决第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.计算2x2y·

-

的结果是

(

) A.2x2y- 6x2y+2x2y3

B.x2y- 3x3y2+y3

C.x2y+6x3y2+2x3y3

D.x2y- 6x3y2+2x2y3

2.一个长方体的长、宽、高分别是3x- 4,2x,x,则它的体积是

A.3x3- 4x2 B.6x3- 8x2

C.x2

D.6x2- 8x

3.计算:(2x2- 3xy+4y2)·(- xy)=

.

4.计算:3a(a2- 2a+1)- 2a2(a- 3).

【能力提升】

(

)

5.当x=2时,代数式x2·(2x)3- x(3x+8x4)的值是多少? 6.已知x2y=3,求2xy(x5y2- 3x3y- 4x)的值.

【拓展探究】

7.若(- 2x2y)·(- xmy+3xy3)=2x5y2- 6x3yn,求m,n的值.

【答案与解析】

1.D(解析:2x2y·

-

=x2y- 6x3y2+2x2y3.故选D.) 2.B(解析:长方体的体积=长×宽×高=(3x- 4)·2x·x=6x3- 8x2.) 3.- 2x3y+3x2y2- 4xy3(解析:(2x2- 3xy+4y2)·(- xy)=2x2·(- xy)- 3xy·(- xy)+4y2·(- xy)=- 2x3y+3x2y2- 4xy3.故填- 2x3y+3x2y2- 4xy3.) 4.解:3a(a2- 2a+1)- 2a2(a- 3)=3a3- 6a2+3a- 2a3+6a2=a3+3a.

5.解:x2·(2x)3- x(3x+8x4)=x2·8x3- (3x2+8x5)=8x5- 3x2- 8x5=- 3x2.当x=2时,原式=- 3×22=- 12.

6.解:2xy(x5y2- 3x3y- 4x)=2x6y3- 6x4y2- 8x2y=2(x2y)3- 6(x2y)2- 8x2y=2×27- 6×9- 8×3=54- 54- 24=- 24.

7.解:因为(- 2x2y)·(- xmy+3xy3)=2x5y2- 6x3yn,所以2x2+my2- 6x3y4=2x5y2- 6x3yn,所以m+2=5,n=4,所以m=3,n=4.