折线型图象表示的变量间关系课堂实录

第三章

变量之间的关系

3 用图象表示的变量间关系（第2课时）

成都十二中初中部数学组 赵桂霞

一、教学分析设计

【教材分析】

变量间关系的三种表示方式(表格法、关系式法和图象法)以及从图象中获取信息，多以选择题、填空题形式出现，有时也会出现在解答题中，难度适中．

教科书基于学生对三种变量表示方法的认识，提出了本课的具体学习任务：通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。在经历探究具体情境中的两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，培养学生的符号意识；从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的变量间关系，发展学生有条理的思考和表达能力；从运动变化的角度认识数学对象的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；同时注意数形结合思想的运用，善于由图象获取信息，由图索数、由数导形，将抽象的数与直观的形有机结合起来．

因此本课时的教学目标如下：

1．能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解；

2．能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；

3．进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。

【学生分析】

学生的知识技能基础：在本章前面几节课中，学生学习了自变量和因变量的概念，并学习了变量之间关系的三种表示方法，初步理解了自变量和因变量的概念，具备了变量之间关系的三种表示方法的基本技能。

学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经学习了变量之间关系，解决了一些简单的现实问题，感受到了变量之间关系研究的必要性和作用，获得了研究变量内容所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

1

【目标分析】

教科书基于学生对三种变量表示方法的认识，提出了本课的具体学习任务：通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。因此本课时的教学目标如下：

1．能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解；

2．能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；

3．进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。

【核心问题分析】

设计思想：在经历探究具体情境中的两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，培养学生的符号意识；从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的变量间关系，发展学生有条理的思考和表达能力；从运动变化的角度认识数学对象的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；同时注意数形结合思想的运用，善于由图象获取信息，由图索数、由数导形，将抽象的数与直观的形有机结合起来。基于前面的教材、学生分析以及对设计思路的反思，设置本节课核心问题。

核心问题：

利用分段图像解决变量间的关系

二、教学实施设计

【教学环节】

教学环节

（时间）

教师活动

1、引入：引入：每学生活动

培养学生设计意图

辆汽车上都有一个时从图象中获取大速表用来指示汽车当量信息的读图能时的速度,你会看这力，并通过亲身体 营造探究的学习氛提出问题

个表吗?（学生先想一（约2min）

围，明确本节课的学习任务，激发学习的兴趣和欲望。

验归纳总结图像想，再进行小组讨论，表示法的特点，及互相补充完善，并派在现实生活中的代表回答）

2、提出核心问题：利用

实际意义。

进入学习状态，理2

分段图像解决变量间的关系

解核心问题。

解决问题

探究轴对称的性质(17min) 全班巡视，必要时对学生给予适当的指导，回答学生提出的问题。在学生分享展示时适时给出专业性评价。

明确探究内容，分组进行讨论，得出轴对称的性质。全班交流探究结果。

培养学生自主探索能力，体验轴对称图形与全等图形的关联，学会从对应点、线段、角三个角度来探究图形的性质，理解图形的对应本质是点的对应。

学生在小组合作探究轴对称图形的性质的活动中，再次体验对称轴两侧图形之间的关联

学生在与老师共同得出轴对称的性质的过程中，不断加深学生对轴对称的性质的理解，进一步加深对称轴两侧图形之间的关联体验

师生在共同总结本节课的数学思想方法的过程中，进一步加深探索图形性质的体验，加深对转化这一重要数学思想方法的体验。

内化本节课所学知识，加深对轴对称性质的理解，加深体验对称轴两侧图形间的关联

如何从图像获取准确信息？

反

思提

本节升

课所用到的数学思想方法（1min）

师生共同反思总结出：1.首先弄清楚坐标轴所表示的意义；2。弄清图像上的点所表示的意义；3. 弄清图像上的最高点，最低点所表示的意义；4. 弄清图像上的上升，下降，水平表示的意义；5.弄清楚上升线，下降线的坡陡表示的意义。

师生共同反思：

1、上升的线，下降的线，水平的线陡峭程度的意义是解决问题的关键2、数形结合的数学思想与图像法。

运用反馈（18min）

运用本节课所学 出示运用反馈习题，知识，完成运用反馈巡视、指导、评价。

练习。

【评价预设】

1、提出问题环节：提出问题环节：通过实际生活问题的情境引入，将学生的数学思维从实际生活出发，激发学生的学习热情，调动学生学习的积极性。

2、解决问题环节：主要针对学生在“扎眼”作对称轴图形探究性质的过程中，强调“扎眼”的过程实质就是找对称点，学生容易忽视实际操作背后结论的得出是基于全等图形的性质特点，通过评价加深轴对称图形的性质与全等图形的性质之间的关联体验。通过评价让学生加深对性质的理解。

3、反思提升环节：在解决问题环节的探究活动中，学生对探究方法以及数学思想有了一定的体验，教师和学生一起将这些思想方法进行总结提升。让学生先积极发言，教师再板书，这时应当多引导学生透过现象看本质，挖掘得越深入，学生越容易掌握。

3

4、运用反馈环节：选择本课时教学目标中的关联体验目标作为检测点，精选一道关于轴对称的性质的题目作为检测工具。在课堂上的主动运用本节课所学习的新知识时会遇到很多困难如不能入手，如何转化点如何转化边等，老师要利用学科话的语言来加以引导、点拨，评价，以期待通过评价达成学生强化本节课新生成性质的运用和体验。课后搜集学习练习进行检测统计、检测分析，完成相应数据和表格的填写。

【板书设计】

5.2探索轴对称的性质

核心问题：“扎眼”，作轴对称图形，探究对称轴两侧图形间的关系。

轴对称的性质：

1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分

2.对应线段相等

3.对应角相等

转化的思想方法

【教学流程图】

学生讨论生成的知识点

开

始

生活中剪纸艺术导入

PPT 提出问题

提出核心问题

PPT 将一张长方形的纸对折一次后画一个图形，然后用圆规尖扎这个图形

引导、点拨、评价

4

解决问题

学生分组探究折痕两侧图形间的关系

点拨、引导性评价

反思提升，生成轴对称的性质以及转化等数学思想方法

提升讲解

反思提升

完成反馈练习

出示练习，评价

PPT 运用反馈

结

束

三、教学反思反馈

【信息搜集】

课后搜集了全班学生的运用反馈练习34份。

【反思判断】

对搜集到的34份学生运用反馈练习基于关联体验目标达成情况评判标准进行了批阅和分类，在此基础上完成了《川大附中校本教研公开课目标达成点检测表》

【反馈调整】

针对前述基于搜集信息的检测分析情况，准备作如下反馈调整：

（1）在教学设计中，学生在解决问题环节的探究活动中，不但要让学生展示成果，更应该让学生暴露思维过程，老师应该抓住学生的思维产生过程。在课堂教师评价中，做了专业的评价，但是对学生的激励性评价太少了，对学生的关注要有表扬和激励。在反馈环节中，学生的口误应该给予点拨，给学生继续讲解的机会，将乐于对话分享落到实处。

（2）对于本节课中未能完全正确体验到关联的学生。请他们认真订正反馈练习，并对改正的过程和结果加以监控，提供个性化的帮组，促进这部分学生在订正练习的过程中，加深对称轴两侧图形之间的关联体验。期望班上的每一位学生都能运用轴对称的性质解决一些简单的问题。

对于后续教学中加强数学素养的反馈调整。

第一环节 回顾思考

活动内容：

学生自己总结已经学习过的几种表示变量之间关系的方法。

5

1.列表法

下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化：

降价（元）

日销量（件）

5 718 10 787 15 845 20 895 25 937 30 973 30 1000 在这个表中反映了

个变量之间的关系，

是自变量，

是因变量。

2.关系式法

某出租车每小时耗油5千克，若ｔ小时耗油ｑ千克，则自变量是

，因变量是

，ｑ与t的关系式是

。

3.图象法

下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况。

（1）大约什么时刻港口的水最深？约是多少？

（2）A点表示什么？

（3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的？

水深/8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 A 4 5 6 时间/

活动目的：通过这一活动，希望学生能总结学习过的三种表示变量之间关系的方法,体会学习过的三种表示变量之间关系的方法之间的联系，培养学生善于总结规律,善于观察生活，乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。

实际教学效果：学生搜集的图表和数据内容丰富多彩，形式多样，来源方式也是多种多样，有的查阅报纸杂志，有的上网调查。这些都充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情和小组团结合作的精神。

附学生调查收集的数据：

如图是沈阳地区一天的气温随时间变化的图像，根据图像回答，在这一天中，

（1）t＝ 时，气温最高，最高气温T＝ ℃；

6

（2）t＝ 时，气温最低，最低气温T＝ ℃；

（3）在 时间段中，气温保持不变；

（4）在 时间段中，气温持续下降；

（5）t＝ 时，气温达6℃；

（6）A点表示 ；

（7）如果某种作业必须在0℃以下才能进行操作，选择 时间段比较合适。

第二环节 讲授新课

活动内容：

引入：每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这个表吗?（学生先想一想，再进行小组讨论，互相补充完善，并派代表回答）

提出问题：

例

汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。

速度/（千米/时）

9630 4 8 1122时间/分

（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？

（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？

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（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？

（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。

各小组讨论相互补充,派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义（选2—3个小组代表讲解）

活动目的：培养学生从图象中获取大量信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结图像表示法的特点，及在现实生活中的实际意义。

实际教学效果：学生在一个开放的环境下展示、讲解生活中的图表，从中获取了大量的信息。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使图象信息的获取更加全面。

此外，学生用自己的语言结合实际描述这辆汽车的行驶情况.由此反映出学生善于观察事物发现分析问题的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。

第三环节 活动内容：

1．柿子熟了，从树上落下来。下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？

2. 一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶。过了一段时间,汽车到达下一个车站。乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶。下面哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？(横轴表示时间,纵轴表示速度)

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3．某同学从第一中学走回家，在路上他碰到两个同学，于是在文化宫玩了一会儿，然后再回家，图中哪一幅图能较好地刻画出这位同学离家所剩的路程与时间的变化情况：

① ② ③ ④

1．学生根据事件的数据，小组讨论,选择图象展示最合适过程。

2．小组成员选择(组内互相交流协商、教师给予适当帮助) 3．小组选派代表讲解，最终对被研究的问题做出决策。

活动目的：此处留给学生充分的时间与空间去选择、讨论。并培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力。

实际教学效果：每一小组通过细心分析补充，都能正确回答问题。提醒同学们细心分析题意，观察图象作出分析。

第四环节 练习提高

活动内容：

4．李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是加快马加鞭车速，在下图中给出的示意图中（s为距离，t为时间）符合以上情况的是（ ）

s

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s

O

A

t

O

B

t

O

C

t

O

D t

5．水滴进的玻璃容器如下图所示（水滴的速度是相同的），那么水的高度h是如何随着时间t变化的，请选择匹配的示意图与容器。

（A）——（ ） （B）——（ ） （C）——（ ） （D）——（ ）

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活动目的：对本节知识进行巩固练习。

实际教学效果：学生基本都能选用适当的图象表示数据，受到了较好的教学效果。同时，第4题，引导学生从生活问题的思考，以此培养数学来源于生活又反作用于生活，渗透数学教学的德育意义。第5题，匹配的示意图与容器，加深学生对图象与数据的理解。

第五环节 课堂小结

活动内容：

一、今天你有哪些收获？

二、总结：

1．通过速度随时间变化的情境，经历从图象中分析变量之间关系的过程，加深了对图象表示的理解。

2．不仅读懂了文字语言，而且还读懂图形语言。

3．最关键是搞清楚自变量、因变量，并且明白了它们的变化关系。

4．一些变量之间的关系可以用图象法来表示。它形象、直观，便于探索趋势。

5．在观察图象时要注意它两轴上的名称与单位，识别变化时可抓住起点、终点、最高（最低）点等特殊位置。

师生互相交流总结图象的特点，怎样通过图象进行合理决策，使学生感受

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所学的知识就在身边。

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）包括怎样通过图象进行分析，使学生感受所学的知识就在身边。

实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：一些变量之间的关系可以用图象法来表示。它形象、直观，便于探索趋势。同学们互相介绍讲解生活中的变量关系的图象，使大家学到了许多课外知识。

第六环节 教学反馈（5分钟100分）

根据图象回答下列问题

1．下图反映了哪两个变量之间的关系？（20分）

2．点A，B分别表示什么？（20分）

3．说一说速度是怎样随时间变化而变化的；（20分）

4．你能找到一个实际情境，大致符合下图所刻画的关系吗？（

第七环节 布置作业

（一）下列各情境分别可以用哪幅图来近似地刻画？

1．一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）；

2．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；

3．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；

4．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）。

s

s

s

O

A

t

O

B

t

O

C

t

11 40分）

s

O

D t

（二）如果OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s和时间t的关系，根图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）。

A．2.5m B．2m C．1.5m D．1m 本题考查识图的能力，由图象可知在8s时间内，学生甲的路程为64m，学生乙的路程为(64-12)=52m，所以V甲=64/8=8(m/s)， V乙=52/8=6.5(m/s)，故V甲- V乙=1.5(m/s)。

（三）请你收集生活中（报纸、杂志等）的变量关系的图象。 一、

教学设计反思

1．要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在小学已经学过一些变量关系的图象，而且普遍掌握较好，因此教学中将重点放在分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。而且能让学生通过社会调查亲自去感受变量关系图象在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。并且让学生利用小组调查搜集来的自己感兴趣的变量关系图象。从而培养学生善于观察生活、搜集数据、选择决策的能力。

2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

通过小组合作社会调查、课堂展示讲解变量关系图象的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3．注意改进的方面

在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。大部分同学能通过速度随时间变化的实际情境，能分析出变量之间关系。但从图象中获得信息不能很好地用语言

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表达出来，以后需要进一步加强训练。

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