1.1 集合的含义及其表示特级教师教学实录

第一章

集合

一、知识结构

集

合

二、重点难点

集合中元素的特性

集合的定义及其表示

集合的表示法

集合的分类

子集、全集、补集

定义、性质、运用

听课随笔

交集、并集

定义、性质、运用

重点：

集合的表示方法；子集的概念；集合的交、并运算；

难点：

集合概念的理解；集合的补集运算；交与并的区别；

集合中的每一个对象称为该集合的元素第一课时

集合的含义

（element）.简称元.

【学习导航】 集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A, 确定性

元素一般用小写拉丁字母表示.如知识网络

集合

集合定义

元素的特性

互异性

无序性

有限集

集合的分类

无限集

空集

学习要求

1．初步理解集合的含义，常用数集及其记法；

2．集合中的元素的特性；

3．理解属于关系和相等的意义；集合的分类；

4．集合的分类. a,b,c……等.

思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？

【答】

3．集合中元素的特性：

（1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. （3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关. 4．常用数集及其记法：

一般地，自然数集记作____________ 正整数集记作__________或___________

整数集记作________有理数记作_______

实数集记作________

5．元素与集合的关系：

如果a是集合A的元素，就记作__________

读作“___________________”；

如果a不是集合A的元素，就记作______ 或______读作“_______________”；

6．集合的分类：

按它的元素个数多少来分：

（i） _________________ 叫做有限集；

【课堂互动】

自学评价

1．集合的含义： 构成一个集合(set).

注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述. （2）集合是一个“整体. （3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的 2．集合中的元素：

（ii）________________________ 叫做无限集；

（iii） _______________ 叫做空集，记为_____________ 【精典范例】

一、运用集合中元素的特性来解决问题

例1．下列研究的对象能否构成集合

（1）世界上最高的山峰

（2）高一数学课本中的难题

（3）中国国旗的颜色

（4）充分小的负数的全体

（5）book中的字母

（6）立方等于本身的实数

（7）不等式2x-8<13的正整数解

【解】

（1）能 （2）不能

（3）能

（4）不能

（5）能

（6）能

（7）能

点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，

要么不是这个集合的元素，即元素确

定性.

例2：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？

分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组.

【解】

分析：三个元素的集合也可表示另外一种形

式，说明这两个集合相同，而该题目

从特殊元素0入手，可以省去繁琐的

讨论．

【解】

依题意得听课随笔

b0 则b=0

a2所以a1

则a1 由互异性知a1

所以

a2005+b2006=-1

点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三

个特征．

二、运用元素与集合的关系来解决一

些问题

例4：集合A中的元素由x=a+b2(a∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A的

关系？

（1）0

（2）1

21

（3）1

32分析：先把x写成a+b2的形式，再观察

a，b是否为整数.

【解】

（1）因为0002，所以0A

（2）因为1x21xx  xx2x121112，

x115 x 2x0或x2所以x的范围是：

所以1211A

（3）因为32312,3Z，

15或x0或x2x|x1或x2

点评: 元素的特性（特别是互异性）

是解决问题的切入点.

例3：三个元素的集合1，a，所以132Z

为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．

b，也可表示

a点评:

要判断某个元素是否是某个集合的元

素，就是看这个元素是否满足该集合

的特性或具体表达形式.

例5：不包含-1，0，1的实数集A满足条件a

∈A，则1a∈A，如果2∈A,求A中的元1a22_______Q

cos300_______Z 7

4．

由实数-x，|x|，x2，x，3x3组成的集合最多含有元素的个数

是_________________个

听课随笔

素？

分析：该题的集合所满足的特征是由抽象的

语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.

【选修延伸】

例6：设S是满足下列两个条件的实数所构成

【解】

∵ 2∈A

∴

-3∈A

∵ -3∈A

∴

12∈A

∵

12∈A

∴

13∈A

∵ 13∈A ∴

2∈A 综上所述，集合A中的元素为：

2，-3，12，13

追踪训练

1．下列研究的对象能否构成集合

①

某校个子较高的同学；

②

倒数等于本身的实数 ③

所有的无理数

④

讲台上的一盒白粉笔

⑤中国的直辖市

⑥中国的大城市

2．下列写法正确的是___________________

①aQ

②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集 ③3R

④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的集合与元素k，o，b组成的集合是同一个集合

把正确的序号填在横线上

3．用∈或填空

1_______N

-3_________N

0__________N

2________N

1_______Z -3_________Q

0__________Z

2________R

0_______N*

________R

的集合：

①1∈S，②若aS，则11aS，请

解答下列问题：

（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求

出这两个数；

（2）求证：若aS，则11aS

（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明 理由；

（4）求证：集合S中至少有三个不同的元素.【解】

（1），（2）略

（3）集合S中的元素不能只有一个.

证明：假设集合S中只有一个元素，则根据

题意知a=111a,此方程无解，∴a≠1a

∴集合S中的元素不能只有一个.

（4）证明：有（2）知，aS，11aS，

现在a，11a，11a三个数互不相等.

①若a=111a,此方程无解，∴a≠1a

②若a=11a，此方程无解，∴a≠11a

③若11a=11a，此方程无解，

∴11a≠11a

综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.点评:

（4）证明中需说明三个数互不相等， 否则证明欠严谨.数学是一门非常

严谨的科学.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑