3.4.1 函数与方程教学设计模板

§2.8

函数与方程

沛县第二中学

孙青松

1.函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根. 2.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【知识拓展】

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(

×

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

×

) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.(

×

) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

√

) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.(

√

)

典型例题分析

题型一

函数零点的确定

命题点1

确定函数零点所在区间

1x－2例1

已知函数f(x)＝ln x－2的零点为x0，则x0所在的区间是________.(填序号) ①(0,1);

③(2,3);

答案

③

1x－2解析

(1)∵f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)为增函数，

1－1又f(1)＝ln 1－2＝ln 1－2<0，

10f(2)＝ln 2－2<0，

11f(3)＝ln 3－2>0，

∴x0∈(2,3). 命题点2

函数零点个数的判断

2x－2，x≤0，例2

函数f(x)＝的零点个数是________. 2x－6＋ln x，x>0②(1,2);

④(3,4).

答案

2

解析

(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；1当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，xf(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. 小结：

(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数. 6

(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是________.(填x序号) ①(0,1);

③(2,4);

②(1,2)；

④(4，＋∞). (2)(教材改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数为________. 答案

(1)③

(2)2 31解析

(1)因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数22

f(x)的零点所在区间为(2,4). (2)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，如图所示，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.

题型二

函数零点的应用

2例3

函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a

的取值范围是__________. x(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________. 答案

(1)(0,3)

(2)(0,1)∪(9，＋∞) 22解析

(1)因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点xx在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3. (2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，

在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，

2y＝－x－3x，所以有两组不同解，

y＝a1－x

消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，

所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，

解得a<1或a>9. 又由图象得a>0，∴09. 引申探究

本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________. 9答案

(0，) 4

解析

作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：

39当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，

249由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0

(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.

(1)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________. (2) 已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________. 9答案

(1)(－2,0)

(2) (0，) 4解析

(1)∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，

11又y＝x2＋x＝(x＋)2－，

24∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，

∴0<－a<2，∴－2

（2）作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：

39当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，

249由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0

2x－x－1，x≥2或x≤－1，1.(2016·江苏东海中学期中)若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的1，－1

零点为______________. 答案

1＋2或1 解析

题目转化为求方程f(x)＝x的根，

x≥2或x≤－1，－1

x－x－1＝x1＝x，

解得x＝1＋2或x＝1，所以g(x)的零点为1＋2或1. 2.若函数f(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________. 答案

2 解析

由f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，知f(x)＝0的根在区间(2,3)内，即n＝2. 3.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为________. 答案

a

11解析

方法一

由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0且f(x)为R上的递增函数. 22故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0). ∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；

111∵h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，

222且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，

1∴h(x)的零点c∈2，1，因此a

由f(x)＝0得2x＝－x；

由h(x)＝0得log2x＝－x，作出函数y＝2x，

y＝log2x和y＝－x的图象(如图).

由图象易知a<0,0

故a0)的解的个数是________. 答案

2 解析

(数形结合法)

∵a>0，∴a2＋1>1. 而y＝|x2－2x|的图象如图，

∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点. x2－1x≤0，5.函数f(x)＝的零点个数为______. x－2＋ln xx>0

答案

2 解析

当x≤0时，令f(x)＝0，得x2－1＝0，∴x＝－1，此时f(x)有一个零点；当x>0时，令f(x)＝0，得x－2＋ln x＝0，在同一个坐标系中画出y＝2－x和y＝ln x的图象(图略)，观察其图象可知函数y＝2－x和y＝ln x的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f(x)有一个零点，所以f(x)的零点个数为2.