3.4.1 函数与方程优秀公开课教案

3.4

函数的应用

3．4.1

函数与方程

第1课时

函数的零点

1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)

[基础·初探] 教材整理1

零点的概念

阅读教材P91至P92例1，完成下列问题．

1．函数零点的定义

一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为0的实数x称为函数y＝f (x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系

(1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的实数根．

(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．

函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．

【解析】

令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2. 【答案】

－1或－2

(－1,0)，(－2,0) 教材整理2

零点存在性定理

阅读教材P92例2至P93“思考”，完成下列问题．

若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．

1

1．判断(正确的打“√”

，错误的打“×”) (1)任何函数都有零点．(

) (2)任意两个零点之间函数值保持同号．(

) (3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)＜0.(

) 【解析】

(1)可举反例f (x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f (x)为正，在(2,3)上f (x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0. 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

2．若函数f (x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x)在区间(2,5)上零点的个数是________．

【解析】

由f (x)在区间(2,5)上是减函数，可得f (x)至多有一个零点．又因为f (x)是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x)恰有一个零点．

【答案】

1

[小组合作型]

求函数的零点

求下列函数的零点．

(1)f (x)＝x3－x；(2)f (x)＝2x－8；(3)f (x)＝1－log4

x；(4)f (x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．

【精彩点拨】

根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．

【自主解答】

(1)∵f (x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，

令f (x)＝0，得x＝0,1，－1，故f (x)的零点为x＝－1,0,1.

2

(2)令f (x)＝2x－8＝0，∴x＝3，

故f (x)的零点为x＝3. (3)令f (x)＝1－log4

x＝0，∴log4

x＝1，∴x＝4. 故f (x)的零点为x＝4. (4)当a＝0时，函数为f (x)＝－x＋2，

令f (x)＝0，得x＝2. ∴f (x)的零点为2. 111当a＝2时，f (x)＝2x－1(x－2)＝2(x－2)2，

令f (x)＝0得x1＝x2＝2. ∴f (x)有零点2. 1当a≠0且a≠2时，

1令f (x)＝0得x1＝a，x2＝2. 1∴f (x)的零点为a，2. 1综上，当a＝0时，f (x)的零点为2；当a＝2时，函数有零点2；当a≠0且11a≠2时，f (x)的零点为a，2.

函数零点的求法

求函数f (x)的零点时，通常转化为解方程f (x)＝0，若方程f (x)＝0有实数根，则函数f (x)存在零点，该方程的根就是函数f (x)的零点；否则，函数f (x)不存在零点．

[再练一题] 1．若函数f (x)＝x2－ax＋b有两个零点1和4，则函数g(x)＝bx2－ax＋1的零点为________．

a＝1＋4＝5，【解析】

由韦达定理得∴g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－b＝1×4＝4，

3

1)，

11令g(x)＝0，则x＝4或1，即g(x)的零点为4或1. 1【答案】

4或1 零点存在性定理及其应

用

在下列区间中，函数f (x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号)

111113①－4，0；②0，4；③4，2；④2，4. 【精彩点拨】

利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a)f (b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．

14【自主解答】

∵f 4＝e－2<0，

1f 2＝e－1>0，

11∴零点在4，2上．

【答案】

③

1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．

2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x)的图象在[a，b]上连续，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在(a，b)上必有零点，若f (a)·f (b)>0，则f (x)在(a，b)上不一定没有零点．

[再练一题] 2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)

4

x ex

x＋3

－1

0.37

2

0

1

3

1

2.72

4

2

7.40

5

3 20.12 6 ①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．

【解析】

设f (x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f (－1)＝0.37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2.72－4<0，f (2)＝7.40－5>0，f (3)＝20.12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，

因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．

【答案】

③

[探究共研型] 方程零点个数的判

探究1

如何去求一个方程的零点？

【提示】

(1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．

探究2

求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？

【提示】

解方程法．优点：解的准确，不需估算．

缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x)＝2x－3x. 图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．

(1)函数f (x)＝ex－3的零点个数为________．

(2)函数f (x)＝ln x－1的零点个数是________．

x－1断

(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．

【精彩点拨】

(1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线y＝a与抛物线y＝(x－1)(3－x)＋x的位置关系讨论，也可以利用判别式．

【自主解答】

(1)令f (x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln 3，故f (x)只有1个零点．

(2) 在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝

5 1的图象，如图所示，函数y＝ln xx－1

与y＝11的图象有两个交点，所以函数f (x)＝ln x－的零点个数为2. x－1x－1

【答案】

(1)1

(2)2 (3)法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a. 令f (x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a. 作函数f (x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－2513＝，画出如图所示的简图：

4×－14

由图象可以看出：

13①当a＞4时，方程没有实数根；

13②当a＝4时，方程有两个相等的实数根；

13③当a＜4时，方程有两个不相等的实数根．

法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0. Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13. 13①当Δ＜0，即a＞4时，方程没有实数根；

13②当Δ＝0，即a＝4时，方程有两个相等的实数根；

13③当Δ＞0，即a＜4时，方程有两个不相等的实数根．

判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点

6

的个数判定函数零点的个数．

[再练一题] 3．若把(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相应问题．

【解】

原方程可化为－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，

作函数f (x)＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象，注意f (x)＝－x2＋5x－3的对称5轴为x＝2，

50－25－121325255f 2＝－＋－3＝＝，

4244f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3. 故f (x)在1＜x＜3上的草图如图所示：

由图可知，

13①当a＝4或1＜a≤3时，方程有一解；

13②当3＜a＜4时，方程有两解；

13③当a≤1或a＞4时，方程无解.

1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．(填序号)

【解析】

②③④的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，①的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．

7

【答案】

①

2．函数f (x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________．

【解析】

∵f (x)＝(x－1)(x2＋3x－10) ＝(x－1)(x＋5)(x－2)，

由f (x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2. 【答案】

3 3．已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f (x)对应值表：

x f (x)

1

136.136

2

15.552

3

－3.92

4

10.88

5

－52.488

6

－232.064

7 11.238 由表可知函数f (x)存在零点的区间有________个．

【解析】

∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．

【答案】

4 24．方程0.9x－21x＝0的实数解的个数是________．

2【解析】

设f (x)＝0.9x－21x，则f (x)为减函数，值

域为R，故有1个．

【答案】

1 5．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.

【解】

令f (x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14. m<0，m>0，依题意得或

f 4>0，f 4<0m>0，m<0，即或

26m＋38<026m＋38>0，19解得－13

8