3.1.2 指数函数主要内容及教案内容

2.1.2 指数函数及其性质

三维目标

1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想. 2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点

教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排

3课时

教学过程

第1课时

指数函数及其性质(1) 导入新课

3,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是41函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师641引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位4思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题. 思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算2,2,2,16,27,49画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, 描点,最后连线.点出本节课题. 30-2142312.再提问怎样11,2,9,,先建立平面直角坐标系,再471思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()5730］t,如果我21们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()5730］x,这是我们习惯上2的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函1

11

数的确切概念,从而引出课题. 推进新课

新知探究

提出问题

1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x) 2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x) 提出问题

(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗? (2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? (3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?

(4)为什么指数函数的定义域是实数集? (5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤. 活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决. 问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性. 问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义. 问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式. 讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y. (2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义: 一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R. (3)a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义. 2

11a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2)2=-2显然是没有意义的. 2a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要. 因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化. (4)因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R. (5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 提出问题

(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象. (4)利用上面的步骤,作函数y=(1x)的图象. 2(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点? (6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把y=2x和y=(1x)的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? 21x)的图象?请说明画法的理由. 2(8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y=2x的图象画y=(活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识. 讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质. (2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象. (3)列表. 3

x y=2x

-3.00 -2.50

-2.00 -1.50

-1.00 0.00 1 0.50

1.00 2 1.50

2.00 4 1

81

41

2作图如图2-1-2-1

图2-1-2-1 (4)列表. x y=(

作图如图2-1-2-2 -2.50

-2.00 -1.50

-1.00 0.00 1 1.00

1.50 2 2.00

2.50 4 1x)

21

41

2

图2-1-2-2 (5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<0时00时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数. 通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0

可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=(广到一般的情形. （6）一般地,指数函数y=ax在a>1和0

a＞1 0＜a＜1 函数性质

a＞1 0＜a＜1 1x1),y=()x.重新观察函数图象的特点,推36向x轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0,1）

自左向右,图象逐渐上升

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1

自左向右,图象逐渐下降

在第一象限内的图象纵坐标都小于

在第二象限内的图象纵坐标都大于1 函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为R+

a0=1 增函数

1x＞0,ax＞1 减函数

x＞0,ax＜1 x＜0,ax＜1 x＜0,ax＞1 一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1 0＜a＜1 图象

①定义域：R

②值域：（0,+∞）

性质

③过点（0,1）,即x=0时y=1 ④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1 （7）在同一坐标系中作出y=2x和y=(④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1

1x)两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,25

它们的图象关于y轴对称.

图2-1-2-3 (8)证明:设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程y=(1x-x11)=2,即点p1(-x1,y1)在y=()x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=()x两个函数的图2221x)两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利2象关于y轴对称. (9)因为y=2x和y=(用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处. 应用示例

例1判断下列函数是否是一个指数函数？

y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a>1,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2. 2活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式. 解：y=8x,y=(2a-1)x(a>变式训练

1,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数. 22-2)x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些? a122答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数. aaa函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=(例2比较下列各题中的两个值的大小: （1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1. 活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出6

每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价. 解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图2-1-2-4.

图2-1-2-4 在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,

所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三：利用函数单调性, ①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；

②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；

③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1. 点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用? 活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现. 变式训练

1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c. 答案：b

13121312答案：分a＞1和0a;当a>1时,a0且y≠1｝. x4(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0. 因此函数y=(而y=(2)3|x|的定义域是｛x∣x=0｝. |x|2|x|202)=()=1,即函数y=()3332x2x(3)令≥0,得≥0,

x1x1x1即≥0,解得x<-1或x≥1,

x1因此函数y=10由于2x1x1的值域是｛y∣y=1｝. 的定义域是｛x∣x<-1或x≥1｝. 2x2x2x2x1≥0且1≠1.

-1≥0,且≠2,所以x1x1x1x12x1x1故函数y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝. 点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0. 变式训练

求下列函数的定义域和值域: (1)y=(112xx22x1;(3)y=ax-1(a>0,a≠1).

);(2)y=329112xx212x1的定义域)的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=32298 答案：(1)函数y=(

是［1,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0

1.指数函数的定义. 2.指数函数的图象和性质. 3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法. 4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法. 9