3.2.1 对数名师课堂实录

对数与对数运算(1) 三维目标

1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点

教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排

3课时

教学过程

导入新课

1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？

2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

抽象出：1.(141)＝？()x＝0.125x=? 222.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕. 提出问题

(对于课本P572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x的图象. ②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…?

③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？

即182030=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x分别等于多少？

131313④你能否给出一个一般性的结论? 活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨. 对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点. 对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标. 对问题③,定义一种新的运算. 对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.

图2-2-1-1 ②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿. 182030=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这种1313131818运算,可以定义一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可类似得1313③到,这种运算叫做对数运算. ④一般性的结论就是对数的定义: 一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x就可表示了: x=log1.01182030,x=log1.01,x=log1.01. 131313

a 底数

对数的底数

212由此得到对数和指数幂之间的关系: N 幂

真数

b 指数

对数

指数式ab=N 对数式logaN=b 2例如：4=162=log416;10=1002=log10100;4=2提出问题

①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?

②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④aloga=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立? N1=log42;10-2=0.01-2=log100.01 2讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）1; 2若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值; 若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.

②loga1=0,logaa=1. 因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0. 同样易知：logaa=1. 即1的对数等于0,底的对数等于1. ③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正数才

有对数,零和负数没有对数. ④因为ab=N,所以b=logaN,ab=aaloga=N,即aaloga=N. 因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(aaloga=N叫对数恒等式)

思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN. 例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN. 例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10. 应用示例

例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：

（1）54=625;（2）2-6=NNN11;（3）()m=5.73; 643(4)log116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303. 2活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题. 对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是1的对数. 641为底5.73的对数. 31的-4次幂. 2对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂. 解：（1）log5625=4;（2）log21=-6;（3）log15.73=m; 643（4）(1-4)=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10. 2

思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题? 活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照. 解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练

课本P64练习

1、2.

例2求下列各式中x的值: （1）log64x=2;（2）logx8=6; 3（3）lg100=x;（4）-lne2=x. 活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解. 6()213解：（1）因为log64x=-,所以x=643=(2)=2-4=. 31622（2）因为logx8=6,所以x6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. （3）因为lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2. （4）因为-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2. 点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练

求下列各式中的x：

①log4x=13;②logx27=;③log5（log10x）=1. 2411解：①由log4x=,得x=42=2; 23②由logx27=,得x4=27,所以x=273=81; 4③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105. 点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果. 知能训练

(1)求log84的值; (2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值. 解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=3422,即log84=; 33(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3, 所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12. 点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 课堂小结

(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业

课本P74习题2.2A组

1、2.