小结名师教学设计1

第二课时

指数函数性质的应用

贾家中学

陈英

三维目标定向

〖知识与技能〗

在掌握指数函数性质的基础上利用指数函数的性质解决求函数的单调区间、比较大小、求字母的取值范围、求一类函数的值域等问题，充分体现指数函数的性质应用，并且会借助指数函数模型求解实际问题。

〖过程与方法〗

来源学科网通过应用指数函数的性质解决实际问题的过程，体会应用知识分析问题、解决问题的思维方法，学会转化和化归的数学思想。

〖情感、态度与价值观〗

增强学生的应用意识，树立学好数学的信心，最终形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

教学重难点：指数函数性质的应用。

教学过程设计

一、温故而知新

指数函数的概念、图象与性质（强调单调性）

二、核心内容整合

1、图象的平移与对称变换

一般地，对形如yaxmn形式的函数，其图象可由yax的图象经过左右上下平移得到。

将指数函数的图象通过翻折、对称，再辅助平移变换可得到较为复杂的函数图象。

例1、若函数f(x)ax13恒过定点P，试求点P的坐标。

解：将指数函数yax(a0且a1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴上移3个单位即可得到f(x)ax13的图象，因为yax的图象恒过（0，1），故相应的f(x)ax13恒过定点（1，4）。

练习1、说明下列函数的图象与指数函数y2x的图象的关系，并画出他们的图象：

（1）y2x1；

（2）y2x21。

练习2：画出函数y2|x1|的图象。

2、复合函数单调性的应用

来源学科网指数函数的单调性应用十分广泛，可以用来比较数或式的大小，求函数的定义域、值域、最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。

对复合函数yf[g(x)]，若ug(x)在区间（a，b）上是增函数，其值域为（c，d），又函数yf(u)在（c，d）上是增函数，那么复合函数在（a，b）上为增函数。可推广为下表（简记为同增异减）：

ug(x)

yf(u)

增

增

增

增

减

减

减

增

减

减

减

增

yf[g(x)]

例2、求不等式a2x7a4x1(a0且a1)中x的取值范围。

解：当a > 1时，函数yax在R上是增函数，所以

a2x7a4x12x74x1x3；

当0 < a < 1时，函数ya在R上是减函数，所以

xa2x7a4x12x74x1x3。

例3、求函数f(x)()12x26x17的定义域、值域、单调区间。

解：（1）函数f(x)的定义域为(,)，

2（2）令tx6x17，则f(t)()，

12t因为tx26x17(x3)28在(,3]上是减函数，而f(t)()在其定义域内是减函数，所以函数f(x)在(,3]上为增函数。

又因为tx26x17(x3)28在[3,)上是减函数，而f(t)()在其定义域内是减函数，所以函数f(x)在[3,)上为增函数。

（3）因为tx26x17(x3)288，而f(t)()在其定义域内是减函数，所以12t12t12t12111f(x)()x6x17()8]。

，所以函数f(x)的值域为y(,22128128练习：讨论函数y5x

3、奇偶性分析及应用

无论0 < a < 1或a > 1，yax均不为奇函数或偶函数，但由其参与而构成的较为复杂的函数式的奇偶性，是经常出现的题型之一，其判断方法仍是判断f(x)与f(x)之间的关系。

例4、已知f(x)(22x的单调性。

11)x，

2x12（1）求函数f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性。

（3）求证：f(x)0。

解：（1）由210，得x0，所以函数的定义域为{x|x0,xR}；

x11x(22x1)x(2x1)（2）f(x)(x，

)xxx2122(21)2(21)x(2x1)x(12x)x(2x1)则f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数。

2(2x1)2(12x)2(2x1)（3）当x

> 0时，由指数函数的性质知21，所以x110，所以当x

> 0时，x212来源学科网f(x)(11)x0。由于f(x)为偶函数，所以当x < 0时，f(x)> 0。2x12

总之，xR且x0时，函数f(x)0。

练习：已知f(x)kaxax(a0且a1)为奇函数，则k =

。

4、实际应用

指数函数应用广泛，如银行复利、人口增长、细菌繁衍、分期付款、土地流失等，这些问题有些模型是指数函数yax，有些则是指数型函数ykax或ykaxb，要具体问题具体分析。

例5、截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

来源:Zxxk.Com]解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，来源学+科+网则有y13(11%)x131.01x（亿），当x = 20时，y131.012016（亿）。所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿。

小结：在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经x过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)(xN)。我们把形如ykax（kR,a0且a1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。

练习（1）如果人口年平均增长率提高1个百分点，那么20年，33年后我国的人口数是多少？

（2）如果年均增长率保持在2%，试计算2020 ~ 2100年，每隔5年相应的人口数。

（3）我国人口数的增长呈现什么趋势？

（4）如何看待我国的计划生育政策？

三、课后作业：P65，习题2.1，A组9，B组3，4。

教学反思：