小结特级教师教学实录

第三章 单元小结（二）（一）教学目标1．知识与技能.整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能.2．过程与方法通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系.3．情感、态度与价值观在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.（二）教学重点与难点重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识能力（三）教学方法动手练习与合作交流相结合. 在整合知识中构建体系，在综合练习中提升能力.（四）教学过程教学环节

教学内容

1．函数模型及其应用章文知识网络.师生互动

设计意图

函数模型及其应用

直线上升指数爆炸对数增长

指数函数对数函数幂函数增长速度比较

模型应用举例

整理知识培养归纳能1．题生合作，绘制网络图.回顾反思构建体系

2．知识梳理力.（1）常见函数模型①直线模型2．学生回顾口述知识要点，老师总结，归纳进行知识疏理. 师生共同回顾，再现知识与方法. 即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等，其增长特点是直线上升（x的系数k＞1），通过图象可以直观地认识它.②指数函数模型

能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”.③对数函数模型能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢. 对数增大在现实生活中也有广泛的应用.④幂函数模型能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型. 幂函数模型中最常见的是二次函数y

= x2

的模型，它的应用最为广泛.（2）函数模型的选择和建立①根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型. 同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型.②建立数学模型的三关a．事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；b．文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；c．数理关：在构建数学模型中，对已有的数学知识进行检索，从而认定或构建相应数学问题.

例1

某工厂生产某产品所需要的费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P

= 1x1000 + 5x +x2，Q = a +，若b10例1解析：根据题意得利润函数解析式为：x1yQxPx(a)(10005xx2)b10生产出的产品能够全部卖掉，且在产量为150吨时利润最大，此11

()x2(a5)x1000.b10a5150112()依题意得，b1015040ab时每吨价格为40元，求实数a，b的值.解得a45.b30【评析】已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，最后结合其实际意义作出解答.

例2

某地投资建印染厂，为了保护环境，需制定治污方案. 甲例2解析：设经过x个月后，甲、乙两方案总的本息分别为y，z，则y

= 100 (1 + 1%)x

方案为永久性治污方案，需一次投入100万元；乙方案为分期治z

= 5 [1 + (1+1%) + (1+1%)2

+…+(1+1%)x–1]经典例题

污方案，需每月投资5万元，若投资额以月利润1%的复利计算，试比较投产几个月后甲方案5(1.01x1)

=500(1.01x1). 0.01设100 (1+1%)x＜500(1.01x–1)，则1.01x与乙方案的优势. (必须时可用以5＞, 4下数据：lg1.010 = 0.0043，lg1.253 = 0.0980，lg1.250 = 0.0969，lg1.235 = 0.0917)两边取常用对数得，

x＞lg1.250.096922.53.

lg1.010.0043

注：1 + q

+ q2

+…+qn

1qn1(q1).=1q故工厂投产23个月后，甲方案优于乙方案，投产1至22个月乙方案优于甲方案. 【评析】不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产生活中很多实际问题.

常见的函数模型有：

（1）一次函数型模型：y = kx + b (k≠0)；

（2）二次函数型模型：y = ax2+bx+c (a≠0)；

（3）指数函数型模型：y = a·bx + c；

（4）对数函数型模型：y = m·logax + n；

例3

为了估计上积雪融化后对（5）幂函数型模型：y = axn + b. 例3：【解析】（1）利用计算机几何画板下游灌溉的影响，在山上建立了软件，描点如图甲. 一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示.最大积雪年序

深度

灌溉面积y (公顷) 落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面28.6 21.1 40.5 36.6 49.8 45.0 取其中的两组数据(10.4, 21.1)，(24.0, 45.8)，代入y = a + bx，得21.1a10.4b，45.8a24.0b（2）从图甲中可以看到，数据点大致x (cm) 1 2 3 4 5 6 15.2 10.4 21.2 18.6 26.4 23.4 积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y

= a + bx.

7 8 9 10 13.5 16.7 24.0 19.1 29.2 34.1 45.8 36.9 用计算器可得a≈2.4，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型；y = 2.4 + 1.8x. 作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系. （3）由y = 2.4 + 1.8×25，求得y = 47.4，即当积雪深度为25cm时，可以灌溉土地47.4公顷. 【评析】拟合函数模型解决实际问题要根据数据特点作函数点图，然后选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程. （1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；（3）根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm，可以灌溉土地多少公顷？

备选例题

例3

我国农业科学家研究玉米的生长阶段与植株高度的函数关系的例子，这里我们再进一步研究此例，引导大家学习建立数学模型的方法. 下表给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据：

生长阶段

植株高度(cm) 0.67 0.85 1.28 1.75 2.27 2.75 18 19 20 21 22 3.69 23 4.71 24 6.36 25 7.73 26 9.91 12.75 16.55 20.1 27 28 29 30 27.35 32.55 31

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 生长阶段

17 植株高度37.55 44.75 53.38 71.61 83.89 97.46 112.73 135.12 153.6 160.32 167.05 174.9 177.87 180.19 180.79 (cm) （1）作出函数图象，近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系；

（2）利用得出的关系式列表；

（3）与表中实际数据比较，说出关系式给出的一些信息. 【解】（1）作出函数图形，如图所示.函数的图形近似于“S”形. 以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图象，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相象.

下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式. 假设指数函数为

y = ae bx

，

并且通过点（2，0.85）和（23，112.73）. 把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得

a = 0.534，b = 0.233. 因此，用指数函数近似得到的关系式为

y = f (x) = 0.534e 0.233x. （2）由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：

生长阶段

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 植株高度

0.67 0.85 1.07 1.36 1.71 2.16 2.73 3.44 4.34 5.48 6.92 8.74 11.03 f (x) 生长阶段

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x 植株高度

13.93 17.58 22.2 28.02 35.37 44.66 56.37 71.16 89.84 113.41 143.17 180.73 f (x) 后面除第23生长阶段外的其它生长阶段数据相差较大. 这个指数函数在玉米生长后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符. 要得到效果更好的关系式，我们需要更多的数学知识. 人们在实际生活中发现生物种群的增长也有类似玉米株高生长的“S”形曲线. 如SARS（非典型肺炎）病的传播，时间与病例数的关系，科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数：

y =k. 1cerx

（3）从表中我们可以清楚地看出. 第1到第6个生长阶段与实际得到的数据相差很小，这类函数称为Logistic模型. 对于玉米生长的这组数据，也可以建立Logistic模型，玉米的整个生长过程近似于函数

y =300. 1393.06e0.23xLogistic模型在现实生活中有很多应用. 例如，它可以预测生物生长状况，这对我们了解生物生长发育情况，控制和预防疾病都有很大的帮助.