阅读与思考 集合中元素的个数全国优秀课堂实录

集合教学设计

一、教学内容

本章的主要内容是集合的概念、表示方法和集合之间的关系与运算。本章共分两大节。

第一大节，是集合与集合的表示方法。本节首先通过实例，引入集合与集合的元素的概念，接着给出了空集的含义。然后，学习了集合的两种表示方法（列举法和特征性质描述法）。

第二大节，是集合之间的关系与运算。本节首先从观察集合与集合之间元素的关系开始，给出子集、真子集以及集合相等的概念，同时学习了用维恩（Venn）图表示集合。接着，学习了交集、并集以及全集、补集的初步知识。

本章的最后安排了一篇介绍数学文化的阅读材料“聪明在于学习，天才由于积累――自学成才的华罗庚”。安排这篇阅读材料的主要目的是，培养学生的爱国主义和刻苦学习、勤奋钻研的精神。

二、地位及作用

集合语言是现代数学的基本语言。通过集合语言的学习，有利于学生简明准确地表达学习的数学内容。集合的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。

三、教学目标

本章是将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性；帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．掌握某些数集的专用符号．

1．理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 3．能在具体情境中，了解全集与空集的含义．

4．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．培养学生从具体到抽象的思维能力．

5．理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

6．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

四、教学内容及课时安排建议

1

本章教学时间约5课时．

§1.1.1 集合的概念

（约1课时）

§1.1.2集合的表示方法

（约1课时）

§1.2.1集合之间的关系

（约1课时）

§1.2.2集合的运算

（约1课时）

集合复习课

（约1课时）

五、教学重点及难点

本章的重点是集合的特征性质描述法及集合间的相互关系。只有掌握了集合的特征性质描述方法及集合间的相互关系，才有可能使学生简洁准确地表述数学对象和结构，更好地使用数学语言进行交流，进而培养学生运用集合的观点研究和处理数学问题的能力。

本章的难点是用集合的特征性质描述法描述集合和补集的逻辑含义。学生从本章正式开始学习集合知识，集合包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能给学生的学习带来一定的困难。

六、教学资源建议

课本与教参；与教材相关的课件；与内容有关的数学发展史；信息技术手段。

七、教学方法与学习指导建议

教师指导与学生合作交流相结合，通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素与集合，集合与集合的关系及运算，从而熟练使用集合语言来表述数学对象。

八、评价建议

1．重视对学生数学学习过程的评价

关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。

2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能

关注学生在本章及今后学习中，能否正确理解以及恰当运用集合语言。包括：正确掌握有关的术语和符号；使用集合语言表述数学问题；运用集合的观点研究、处理数学问题；针对不同的具体问题时，是否恰当地选择自然语言、图形语言、集合语言进行描述。

2

教学案例

1.1.1集合的概念

教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

教学重点：集合的基本概念

教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法. 教学过程：

教学环节

教学内容

师生互设计意图

动

军训前学校通知：8月15日8点，高一

年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个

通知的对象是全体的高一学生还是个别学

引

生？

学生思设疑激趣，入

在这里，集合是我们常用的一个词语，考、交流

导入课题

我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.

阅读教材，并思考下列问题：

（1）有那些概念？

（2）有那些符号？

（3）集合中元素的特性是什么？

（4）如何给集合分类?:

1、集合的概念

教师提

（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及问，学生

我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作讨论交通过实例，

对象. 流，得出引导学生

（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看集合概经历并体

成一个整体，就说这个整体是由这些对象的念的要会集合概

全体构成的集合. 点，并弄念形成过

（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的清元素程.

元素. 与集合讲

集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、之间的授

B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，从属关新

如a、b、c、……

系. 课

2、元素与集合的关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就

3

应

用

举

例

说a不属于A，记作aA

要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写. 3、集合中元素的特性

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 4、集合分类

根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集

（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

5、常用数集及其表示方法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合.记作Z

（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q

（5）实数集：全体实数的集合.记作R

注：（1）自然数集包括数0.

（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

例1

下列各组对象能否构成一个集合：

（1）

著名的数学家

（2）

某校高一（2）班所有高个子的同学

（3）

不超过10的非负数

（4）

方程在实数范围内的解

学生思（5）

2的近似值的全体

考、交例2

（1）给出下面四个关系:

流，并得3R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数出结论. 是:( )个

A．4 B．3 C．2 D．1 （2）下面有四个命题: ①若-aΝ,则aΝ ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2 ③集合N中最小元素是1 2④ x+4=4x的解集可表示为{2,2}.其中正确命题的个数是( ) 4

通过练习进一步理解集合有关概念、性质.

课

堂

练

习

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

1、略

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数

（2）好心的人

（3）1，2，2，3，4，5．

学生独巩固概念

立完成

3、设a,b是非零实数，那么aabb可能取的

归

纳

总

结

作

业

值组成集合的元素是_-2,0,2__

本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）

2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

3．常用数集的定义及记法

师生共同总结、交流、完善

让学生进一步体会知识的形成、发展、完善过程.

1.1.2集合的表示方法

教学目标：（1）掌握集合的表示方法. （2）能选择自然语言、集合语言描述不同的问题. 教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合. 教学方法：采用实例归纳、自主探究、合作交流等方法.教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索一些常见集合的特征性质. 教学过程：

教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

通过复习引

1．回忆集合的概念

教师回顾，为入

2．集合中元素有那些性质？

提问，学引入集合3．空集、有限集和无限集的概念

生回答

表示方法

作铺垫.

集合的表示方法

5

概

念

形

成

及

深

化

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失. (2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100} 自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…} （3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素. （4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次. 2、特征性质描述法：

在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：

{x∈I| p(x) }

例如，所有直角三角形的集合可以表示为：

教师给出概念，学生讨论.

加深学生对列举法、特征性质描述法的理解

{x|x是直角三角形}

注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）注意区别：实数集，{实数集}.

例1

用列举法表示下列集合：

(1)

小于5的正奇数组成的集合；

(2)

能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)

从51到100的所有整数的集合；

(4)

小于10的所有自然数组成的集合；

(5)

方程x2x的所有实数根组成的集合；

(6)由1~20以内的所有质数组成的集合.

例2

用描述法表示下列集合：

(1)由适合x-2>0的所有解组成的集合; (2)到定点距离等于定长的点的集合; (3)抛物线y=x2上的点; (4)抛物线y=x2上点的横坐标; (5)抛物线y=x2上点的纵坐标;

6

应

用

举

例

学生独立思考、讨论、交流后，展示结论，教师给予积极评价.

巩固所学知识，家生学生对列举法及特征性质描述法的理解和掌握.

1. {(x,y)

∣x+y=6，x、y∈N}用列举法表示

为 .

2.用列举法表示下列集合,并说明是有限集

还是无限集? (1){x∣x为不大于20的质数};

(2){100以下的,9与12的公倍数};

(3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6}; 学生3.用描述法表示下列集合,并说明是有限集独立完成. 还是无限集?

(1){3,5,7,9};

(2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),…

1、本节课学习了集合的表示方法（列举法、描

师生归纳述法）2、通过回顾本届的学习过程，请同学体总结

会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的. 共同完成小结.

课

堂

练

习

进一步巩固所学知识.

梳理知识体系，培养学生的概括归纳能力.

布置

作业

1.2.1集合间的关系

教学目标：

1、知识与技能

（1）

理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集

（2）

能使用维恩图表达集合间的关系

2、过程与方法

（1）通过复习元素与集合间的关系，对照实数的相等与不相等的关系，联系元素与集合之间的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系

（2）初步经历使用最基本的集合语言表示相关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力

3、情感态度与价值观：探索直观图示对理解抽象概念的作用，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义

教学重、难点：

重点：子集、真子集的概念和性质

难点：元素与子集、属于与包含间的区别

教学方法：讲、议结合法

教学过程与操作设计：

环节

教学内容设计

师生双边互动

设计意图

7

引例：（1）A1,3,B1,3,5,6

创

设

情

境

(2)Axx是正方形，Bxx是平行四边形教师引导学生思考引例，分组讨论然后回答问题，从而归纳出子集的定义

引导学生观察，分析，归纳出子集定义，对子集加深理解

(3)Axx3,Txx2(4)Ax(x1)(x2)0,B1,2子集的概念：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA. 若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作

概念形成

PQ

思考：1、如何用符号语言表示集合间的关系？

2、AB与AB是同一含义吗？

引导学生归纳出子集的性质：

（1）AA;(2)A

思考：比较引例中各组两个集合有什么异同？

真子集：若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.

集合相等：

1、

若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.

概念深化

2、若AB,B则AB

3、集合的维恩（Venn）图表示

我们常用平面内的封闭曲线的内部表示集合，这个区域叫做维恩图

B

A A(B) A

（1）A

（2）A

B

（3）A=B 用维恩图可以直观地看出两个集合的包含关系

8

引导学生进一步分析“子集”概念，从中得出真子集与相等两个概念。

通过应用引导学生体会维恩图对理解子集、真子集、相等等概念的作用

例：1.让学生用维恩图表示N+，N，Z，Q，R之间的关系

2.空集是任何非空集合的真子集

3.传递性：若AB，BC，则AC

学生解答并做出练习，教师要求学生能够用维恩图将包含关系正确表达出来。

通过应用进一步理解和巩固集合的子集、真子集等概念，逐步学习运用集合语言

1、

略

2、

补充例子：

例1、设集合A={0,1},集合B={x|xA},则A与B的关系如何?答案：AB

例2 应用设集合Axx24x0,xR,Bxx22(a1)xa210,a,xR

举例

BA,求实数a的范围。若

答案：a-1或a=1

注意：要讨论集合A为空集的情形

1、

归纳小结

子集、真子集，集合相等的概念，如何判断？

2、

3、

，之间的区别是什么？

集合之间的包含关系等概念是怎样形成的？

师生共同总结——交流——完善

引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程

巩固深化

布置作业

有学生独立完成

课题：§1.2.2集合的运算

一、教学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；

4．认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点. 二、教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用. 教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算

三、教学方法：发现式教学法

四、教学过程：

9

教学环节

复

习

回

顾

讲

授

新

课

教学内容

问题1:

(1)分别说明AB与A=B的意义；

(2)说出集合{1,2,3}的子集、真子集个数及表示；

问题2：观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系? 师生互动

设计意图

通过复习问题，回忆相关知识.

通过设教师说明：

问引出概念. 图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此可有：

A B （5）

(6)

图1—5 图1—5（1）给出了两个集合A、B；

图1—5（2）阴影部分是A与B公共部分；

图1—5（3）阴影部分是由A、B组成；

图1—5（4）集合A是集合B的真子集；

图1—5（5）集合B是集合A的真子集；

1. 交集：

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集（intersection set），即A与B的公共部分，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈A且x∈B}.如上述图（2）中的阴影部分. 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.

10

师生共同完成，教师用多媒体课件演示并说明.

通过直观图形，引导学生理解交集、并集与补集的概念

概

念

形

成

2．并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union set)，即A与B的所有部分，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}.如上述图（3）中的阴影部分. 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）. 3．全集

如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（uniwerse set），记作U.如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合. 4.补集

一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A⊆S），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A} 图1—5（6）阴影部分即表示A在U中补集CUA.

概

念

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

B A A(B) B A

A

B A

B

教师说明：（1）

当两个集合没

有公共元素

时，两个集合

的交集是空培养学生思集，而不能说维的深刻性

两个集合没有交集

11

深

化

（2）连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示. （3）补集的概念必须要有全集的限制

应

用

举

例

例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求AB. 解：AB=｛x|x>-2｝｛x|x<3｝=｛x|-2

例2 设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求AB. ｛x|x解：AB=｛x|x是等腰三角形｝是直角三角形｝=｛x|x是等腰直角三角形｝．

例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求AB. 解：AB=｛3,4,5,6,7,8｝．

例4设A=｛x|x是锐角三角形｝，B=｛x|x是钝角三角形｝，求AB. ｛x|x解：AB=｛x|x是锐角三角形｝是钝角三角形｝=｛x|x是斜三角形｝．

例5已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CUA

解：∵A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝＝｛x|0≤X＜4｝，U＝R

0

4

x

12

学生独立思考并回答，师生共同完成例题解答.

加深对概念的理解和掌握.

课

堂

练

习

课

时

小

补充例题：解答下列各题：

(1) 设全集U={2，3，m2+2m-3}，

A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值；（m=

- 4或m=2）

（2）已知全集U={1，2，3，4}，

A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、

m；（答案：CUA={2，3}，m=4；

CUA={1，4}，m=6）

(3).已知全集U=R,集合

A={x|0

讨论、交流并回答

(1)已知集合M{4,7,8},且M中至多有学生独立思考并回∴CUA＝｛x｜x＜0，或x≥4｝

一个偶数,则这样的集合共有(

)；

答

A

3个

B

4个

C

6个

D5个

（2）设集合A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若B, 且BA, 求a, b的值.

1．在并交问题求解过程中，充分利用数学生回忆本节收轴、维恩图. 获，师生共同完成2．能熟练求解一个给定集合的补集；

小结. 3．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 4．集合基本运算的一些结论：

13 进一步巩固所学知识. 梳理知识体系，培养学生的归纳、概括能力.

结

A∩BA，A∩BB，A∩A=A，

A∩=,A∩B=B∩A AA∪B，BA∪B，A∪A=A，

A∪=A,A∪B=B∪A （CUA）∪A=U，（CUA）∩A=

若A∩B=A，则AB，反之也成立

若A∪B=B，则AB，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B 若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

作

业

1．集A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；

2．集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB ={3，7}，求B

14