习题3.1公开课教案

函数与方程复习课

上午第五节

考纲要求

1、理解函数零点与方程的根，函数图象与x轴交点之间的关系，能根据零点存在性定理和二分法求方程的近似解；

2、会利用函数值域求解“a=f(x)有解”型问题；

3、利用数形结合思想解决有关函数零点的个数问题。

重点难点

函数零点的概念及用“二分法”求方程的近似解，使学生形成用函数观点处理问题的意识．

知识要点

1.函数零点

对于函数yf(x)(xD)，把使______成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

函数零点的意义：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与______有交点函数yf(x)有______。

函数零点的判断（零点存在性定理）：如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，则函数yf(x)在区间________内有零点，即存在ca,b使得f(c)0，即c为函数yf(x)的一个零点，即c为方程f(x)0的一个根．

2．二分法 对于在区间a,b上连续不断，且__________________的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_______，使区间的两端点逐步逼近_______，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法．

3.二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图像与零点的关系

4.有关函数零点的结论

典型例题: 考点一：确定函数零点所在的区间

1例1已知函数fx＝lnx－()x2的零点为x0，则x0所在的区间是(

) 2A.(0，1) C.(2，3)

B.(1，2) D.(3，4) 1解：∵fx＝lnx－()x2在(0，＋∞)上是增函数，

21又f1＝ln1－()1ln120，

2

11f2＝ln2－()0ln210，f3＝ln3－. 22故f(x)的零点x0(2，3).

1变式1、设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(

) 2A．(0,1)

B．(1,2) C．(2,3)

D．(3,4) 1解：选B 设函数f(x)＝x3－x－2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为单调函数，2则x0∈(1,2)．

2、已知函数fxlnxx2一个零点所在的区间为k,k1kN，则k的值为________．

小结: 利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

考点二：判断函数零点个数

x－2，x≤0，例2、函数f(x)＝的零点个数是________ 2x－6＋ln x，x>021x变式1、函数f(x)＝x2－的零点的个数为(

) 21A．0

B．1 C．2

x＋1，x≤0，2、已知函数f(x)＝log2x，x>0，

D．3

则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是

(

) A．4

C．2

B．3 D．1 11x解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝的图象如图所2211x示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x－只有1个零点．

22(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，

1又由f(－2)＝f＝－1. 21可得f(x)＝－2或f(x)＝. 21若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；

411若f(x)＝，则x＝－或x＝2，

22综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．

[答案] (1)B (2)A

小结：判断函数零点个数的常用方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

考点三：函数零点的应用

例3、已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是________．

解答] ∵f(x)＝ex－x＋a，

∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0. 当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；

当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

故f(x)min＝f(0)＝1＋a. 若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，

即1＋a≤0，得a≤－1. [答案] (－∞，－1] 变式1、若函数变为f(x)＝ln x－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．

1解：∵f(x)＝ln x－2x＋a，∴f′(x)＝－2. x1令f′(x)＝0，得x＝. 21当0

21当x>时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数．

211∴f(x)max＝f＝ln－1＋a. 221若f(x)有零点，则f(x)max≥0，即ln－1＋a≥0.

21解得a≥1－ln，a的取值范围为[1＋ln 2，＋∞). 22、已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．

解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，易得当x∈[1,2]时，f(x)＝－x＋2，当x∈[2,3]时，f(x)＝x－2.

在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝kx1＋k的图象如图所示，结合图形易知，k∈0，. 4

1答案：0，

4

小结：已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

基础小测

1．函数fxxcosx2在区间[0,4]上的零点个数为

．

2．已知fxx2a21xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围 ．

a)0,f(b)0，3．对于函数f(x)x2mxn，若f(则函数f(x)在区间(a,b)内：①一定有零点；

②一定没有零点；

③可能有两个零点；

④至多有两个零点．

其中正确的序号是___________．

4．下列数值是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值：

2[来源:学x

1.375

1.4065

1.438

1.625

1.875

1 §科§网]

f(x)

2

0.260

0.052

0.165

1.982

4.35

6

由此可判断：方程f(x)0的一个近似解为 （精确到0.1).

5．若abc，则函数fxxaxbxbxcxcxa的两个零点分别位于区间 ．

教学反思：

函数与方程，高考要求（A级要求），主要是通过图像判断根的情况。但有时需要合理的转化，学生在转化时往往会遇到困难。再利用适当机会，增加一点练习，学生基本上能过关。