习题1.2教学设计模板

1．函数与映射的概念

两集合

A、B 对应关系

f：A→B 名称

函数

设A，B是两个非空的数集

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

y＝f(x)(x∈A)

映射

设A，B是两个非空的集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

对应f：A→B是一个映射

记法

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

[做一做] 1．(2014·高考江西卷)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(

) A．(0，1)

B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案：C 2．设函数f(x)＝错误!若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝(

)

A．－3

B．±3 C．－1

D．±1 解析：选D.若a≥0，则a＋1＝2，得a＝1；若a＜0，则－a＋1＝2，得a＝－1.

1．辨明两个易误点

(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

2．函数解析式的四种常用求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

1(4)解方程组法：已知关于f(x)与f()或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外x

一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．

[做一做] 3．(2015·长春模拟)下列对应关系：

①A＝{1，4，9}，B＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f：x→x的平方根；

②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；

③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；

④A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方．

其中是A到B的映射的是(

) A．①③

B．②④

C．③④

D．②③

答案：C 124．已知fx＝x＋5x，则f(x)＝________．

15答案：2＋(x≠0) xx5．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________．

答案：x2－4x＋3 考点一__函数的基本概念____________________

以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？

x(1)f1：y＝；f2：y＝1. x1，x≤1，(2)f1：y＝2，1

3，x≥2；f2：

x x≤1

y 1

(3)f1：y＝2x；f2：如图所示．

1

2

x≥2

3

[解]

(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.

(2)同一函数，x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．

(3)同一函数．理由同(2)．

[规律方法]

两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．

a·2x，x≥0，

(1)(2014·高考江西卷)已知函数f(x)＝－x(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，2，x＜0则a＝(

) 11A.

B.

42C．1 D．2

2x，x<0，π(2)(2013·高考福建卷)已知函数f(x)＝π则ff4＝________．

－tan x，0≤x<2，12x＋1，

x≤0，(3)(2015·榆林模拟)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是2－（x－1），x>0，________．

－－[解析]

(1)由题意得f(－1)＝2(1)＝2，

1f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝.

4ππ(2)∵∈0，，

42ππ∴f＝－tan＝－1，

44π∴ff＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.

4x≤0，x>0，(3)由题意知1或

2－（x－1）≥－1，x＋1≥－12解得－4≤x≤0或0

[答案]

(1)A

(2)－2

(3)[－4，2] [规律方法]

解决分段函数求值问题的方法：

(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．

考点三__求函数的解析式______________________

2

(1)已知fx＋1＝lg x，求f(x)的解析式．

(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试求出f(x)的解析式．

(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．

22[解]

(1)令＋1＝t，由于x>0，∴t>1且x＝，

xt－122∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．

t－1x－1(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.

∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.

4a＝4，∴

4a＋2b＝2，a＝1，∴

b＝－1，∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.

(3)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①

以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②

由①②消去f(－x)得，

3

21f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．

33[规律方法]

求函数解析式常用的方法：

(1)待定系数法；

(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；

(3)配凑法；

(4)解方程组法．