习题2.3教案推荐

2.3幂函数

教学教法分析

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；

(2)结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质．

2．过程与方法

(1)类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．能运用幂函数概念解决简单的问题；

(2)使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；

(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

●重点难点

重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质．

难点：从幂函数的图象中概括其性质．

11重难点的突破：以学生熟知的函数y＝x，y＝x2，y＝，y＝x3，y＝x为切入点，类比指x2数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念．通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示，师生共同总结出函数y＝xα的图象特征. 课前自主导学

1.掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点) 课标解读

12．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点) 23．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)

知识1

【问题导思】

1．函数y＝2x与y＝x2有何不同？

幂函数的概念

【提示】

在函数y＝2x中，常数2为底数，自变量x为指数，故为指数函数；而在函数y＝x2中，自变量x为底数，常数2为指数，故为幂函数．

12．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1及y＝x解析式有何共同特征？

2【提示】

指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂xα的系数为1；只有1项．

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

知识2

【问题导思】

幂函数的图象及性质

在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x\f(1,2)，y＝x－1的图象如图.

1．它们的图象都过同一定点吗？

【提示】

是的，都过定点(1,1)．

2．上述五个函数，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？

1【提示】

在(0，＋∞)内是增函数的有：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x. 2在(0，＋∞)内是减函数的有：y＝x1. －3．上述5个函数的图象关于原点对称，是奇函数的有哪几个？图象关于y轴对称，是偶函数的呢？

【提示】

图象关于原点对称是奇函数的有：y＝x，y＝x3，y＝x1；图象关于y轴对称，－

为偶函数的是y＝x2. 幂函数的性质

幂函数

定义域

值域

奇偶性

R

R

奇函数

R

[0，＋∞)

偶函数

R

R

奇函数

[0，＋∞)

[0，＋∞)

非奇非偶函数

{x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数

y＝x y＝x2

y＝x3

1y＝x

2y＝x－1

单调性

在R上是

增函数

在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数

在R上是增函数

在[0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数

公共点

(1,1)

课堂互动探究

类型1

幂函数的概念

已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

对照列方程组α【思路探究】

已知函数――→y＝x――→求m，n

【自主解答】

∵函数y＝(m2＋2m－2)xm2＋2n－3是幂函数，

＋2m＋2m－2＝13由幂函数的定义得解得m＝－3或1，n＝. 22n－3＝0，

1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数．

2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．

已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________. 11【解析】

由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，∴f(x)＝x，

221∴f(100)＝100＝10. 2【答案】

10

类型2

幂函数的图象

已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图2－3－1所示，则a，b，c的大小关系为(

)

A．c

B．a

C．b

D．c

图2－3－1 【思路探究】

利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质判断a，b，c的大小关系

【自主解答】

由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0. 由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b. 综上所述，可知c

A

1．本题也可采用特殊值法，如取x＝2，结合图象可知2a>2b>2c，又函数y＝2x在R上是增函数，于是a>b>c. 1α＝±1，，2，3而言，其图象有以下特点：

2．对于函数y＝xα2(1)恒过点(1,1)，且不过第四象限．

(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在结合所给图象分析

(0，＋∞)上都是减函数．

(3)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．

幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦1限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x的图象经过的“卦2限”是(

) A．④⑦

B．④⑧

C．③⑧

D．①⑤

【解析】

∵x－x＝x(x－1)，当0

即x

当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数y＝x12的图象经过“卦限⑤”．

【答案】

D

类型3

幂函数的性质及应用

比较下列各组数的大小：

(1)3－52和3.1－52；

(2)－8－718和－978；

(3)2－23－3和－π6－23；

(4)4.125，3.8－23和(－1.9)－35. 借助幂函数的单调性或中间量【思路探究】

幂的结构―――――――――――――――→幂的大小. 【自主解答】

(1)函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，

又3<3.1，所以3－552>3.1－2. (2)－8－78＝－1878，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，

又18>19，则1878>19778，从而－8－8<－1978.

2222π2π2－－＝－，－－＝－. (3)3333636322π函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又>，

3362222π2π2－－＝－<－＝－－. 所以3333636322223(4)4.1>1＝1；0<3.8－<1－＝1；(－1.9)－<0，

55335322所以(－1.9)－<3.8－<4.1. 535

1．比较幂的大小的三种常用方法

2．利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题

比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．

已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．

【解】

∵f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，∴m－3<0，∴m<3. －3又∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵f(x)＝xm∴m＝1.∴f(x)＝x2. －是偶函数，∴m－3是偶数．

思想方法技巧

巧用幂函数的性质求参数的范围

(12分)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上mm函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．

33

【思路点拨】

据题中条件→列出不等式组→求出m→利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a

【规范解答】

∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3.

4分

又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.

8分

11∴有(a＋1)－<(3－2a)－. 331又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，

3∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，

10分

23解得

32

1．本题涉及到幂函数的单调性、奇偶性、图象等问题，解题的关键是准确把握幂函数的图象，实质上，抓住了幂函数的图象也就抓住了性质．

2．分类讨论思想．本题中依“a＋1,3－2a”是否在同一区间为分类标准，从而做到不重不漏，学习中应注意分类意识的培养．

课堂小结

1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．

2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)1同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x)图象与性质的关系．

23．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．

当堂双基检测

1．下列函数是幂函数的是(

) A．y＝5x

C．y＝5x

B．y＝x5

D．y＝(x＋1)3

【解析】

函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．

【答案】

B

2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是(

) A．y＝x B．y＝x2

1C．y＝x3

D．y＝x

21【解析】

结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3及y＝x的图象可知，幂函数y＝x2在(－∞，20)上为减函数．

【答案】

B 112，，则f＝________. 3．若幂函数f(x)的图象经过点42【解析】

设幂函数f(x)＝xα，则由题意可知

11－21－f(2)＝2α＝，∴α＝－2，∴f(x)＝x2，∴f2＝2＝4. 4【答案】

4 4．比较下列各组中两个值的大小：

33(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；

5522(2)3.5－与5.3－；(4)0.18－0.3与0.15－0.3. 33333【解】

(1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.5<1.6，∴1.5<1.6. 555(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6<0.7，∴0.61.3<0.71.3. 222(3)∵幂函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，且3.5<5.3，∴3.5－>5.3－. 333(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18>0.15，∴0.18－0.3<0.15－0.3. 课后知能检测

一、选择题

1．下列函数中，定义域为R的是(

) 1A．y＝x－2

B．y＝x

2C．y＝x2

D．y＝x－1

1－【解析】

对A，由y＝x2＝2，知x≠0；

x1对B，由y＝x＝x，知x≥0；

21－对D，由y＝x1＝，知x≠0. x

故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C. 【答案】

C 52．函数y＝x的图象大致是(

) 3

55【解析】

∵函数y＝x在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，故排除选项A、D，又>1，33故排除选项C. 【答案】

B 3．下列命题中正确的是(

) A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点

C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数

D．幂函数的图象不可能在第四象限

【解析】

当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确．

【答案】

D 2322，c＝32，则a，b，c的大小关系是(

) 4．设a＝，b＝555555A．a>b>c

C．a

B．c>a>b

D．b>c>a

2x3223<22，即a

∵函数y＝在R上是减函数，又>，∴55555553222232又∵函数y＝x在R上是增函数，且>，∴55>55，即c>b，∴a

C

图2－3－3 5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是递减的，且f(－2)＝0，如图2－3－3所示，则使得f(x)<0的x的取值范围是(

) A．(－∞，2)

B．(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2,2) 【解析】

由图可得在(－∞，0)上，f(x)<0的解集为(－2,0]．因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2,2)．

【答案】

D 二、填空题

16．函数y＝x－2在区间2，2上的最大值为________．

【解析】

∵函数y＝x－21在2，2上是减函数，

11，2上的最大值为－2＝4. 故该函数在22【答案】

4 17．设α∈－1，1，2，3，则使y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．

1【解析】

当α＝－1或α＝时，所得幂函数的定义域不是R；

2当α＝1或α＝3时，所得幂函数的定义域为R且为奇函数．

【答案】

{1,3} 12，，则满足f(x)＝－27的x值等于________．

8．幂函数y＝f(x)的图象经过点81－【解析】

设f(x)＝xα，由题意可知2α＝，α＝－3，即f(x)＝x3. 81－由x3＝－27可知x＝－. 31【答案】

－

3三、解答题

m29．(2014·济南高一检测)已知函数y＝(m－3m＋3)x－1为幂函数，求其解析式，并讨32论函数的单调性和奇偶性．

【解】

由题意得m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.∴m＝1或m＝2.

1当m＝2时，y＝x，定义域为R，

31y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．

32当m＝1时，y＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

32112由于y＝x－＝＝，∴函数y＝x－为偶函数．

32332xx322又－<0，∴y＝x－在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

331－2，－分别在幂函数f(x)，g(x)图象上，当x为何值时，有

10．点(2，2)与点2(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

1设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则(2)α＝2，(－2)β＝－，

2∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x1. －分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，

①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

②当x＝1时，f(x)＝g(x)；

③当x∈(0,1)时，f(x)

ax＋a－xax－a－x11．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．

22(1)由5＝2＋3，请你探究g(5)能否用f(2)，g(2)，f(3)，g(3)来表示；

(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广．

a5－a5【解】

(1)∵g(5)＝，

2－a2＋a2a3－a3a2－a2a3＋a3而f(2)g(3)＋g(2)f(3)＝·＋·

2222－－－－11－－－－－＝(a5＋a－a1－a5＋a5－a＋a1－a5)＝(a5－a5)，

42∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．

(2)由(1)可得g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．

ax＋axay－ayax－axay＋ay证明：f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋·

2222－－－－1＋－－－－＋－－－－＝(axy＋ayx－axy－ayx＋axy－ayx＋axy－axy) 41＋－－＝(axy－axy)＝g(x＋y). 2