阅读与思考 集合中元素的个数ppt课件课堂实录

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集合中元素的个数

1．若card(M)12，card(P)8，则card(MA．12，8

B．20，8

P)的最大、最小值分别是（C）

C．20，12

D．20，4 提示：当PM时，有最小值，当MP=时有最大值．

2．某城市效区对200户农民的生活水平进行调查，统计结果表明：有彩电的128户有电冰箱的162户，二者都有的105户，则彩电和电冰箱至少有一样的有（B）

A．162户

B．185户

C．192户

D．200户

提示：card(MP)card(M)card(p)card(MP)=128+162-105=185．

3．已知集合M={直线}，P={圆}，则M∩P的元素个数是（A）

A．0

B．1

C．3

D．不确定的

提示：集合M∩P中的元素表明这一元素既是直线又是圆，这样的几何图形不存在；

故知集合M∩P是空集，故正确选项为A．

4．已知集合M={a2，a}，P={-a，2a-1}，若card(M∪P)=3，则集合M∪P=（C）

A．{-1，0，2}

B．{-1，1，3}

C．{-1，1，-3}

D．{1，2，-3} 提示：由于并集中只有3个元素，∴M与P中有且只有一个元素相同，又a0，且a2a，∴只能有a2a，即a1．

5．一个20人的团体走进一家商城，有8人买了电脑，14人买了彩电，其中有6人同时买了这两样商品，则当走出该商城时，不必付款的人数是（B）

A．3

B．4

C．5

D．6 提示：至少买了一种商品的是8+14-6人．

6．据调查知：某村有电话的家庭是35户，有农用三轮车的家庭是65户，既有电话又有农用三轮车的家庭是20户，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数是（B）

A．60

B．80

C．100

D．120 提示：35+65-20=80．

7．在100个人中已知有篮球爱好者60人，排球爱好者65人，设其中既爱好篮球又爱好排球的人数为x，且xmaxm，xminn，则mn（A）

A．35

B．40

C．5

D．25 提示：全部的篮球爱好者也是排球爱好者时，x取最大值m=60，最小时即60+65-100=25=n．

8．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩在及格分数以上，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是（A）A．49

B．50

C．51

D．52 提示：设数学及格人数是x，则x+51-46=54，∴x=49．

9．在某校高一（3）班的学生中，参加物理课外小组的有20人，参加数学课外小组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理小组又未参加数学小组的有15人，则这个班的学生总人数是（C）

A．70

B．55

C．50

D．无法确定

提示：如图所示，设U={高一（3）班的学生}，

A={高一（3）班参加物理小组的学生}，

B={高一（3）班参加数学小组的学生}，

则A∩B={高一（3）班既参加物理小组又参加数学小组的学生}，ðU(A由于(AB)={高一（3）班物理小组、数学小组都未参加的学生}，B)(ðU(AB))，

B)card(ðB))

U(AU

15

10 10

15 A

B

9题图

则card(U)card(A

card(A)card(B)card(AB)card(ðB))=20+25-10+15=50；故选C．U(A1,2,3,4,5}，10．设P、Q为两个集合，定义集合PQ{(a,b)|aP,且bQ}，若P{Q{3,4,5,6}，则集合PQ中元素的个数是（C）

A．625

B．1024

C．20

D．9 提示：对于P中的每一个元素与之对应的有4个点，如a1时有点(1,3)、(1,4)、(1,5)

和(1,6)，故共有5420个元素。

11．在高一年级数、理、化三科竞赛中，某班学生每人至少参加了数、理、化三科竞赛中的一种，已知获奖结果是：有13人获数学奖，10人获得物理奖，11人获得化学奖，28人未获奖，假定这三科竞赛是不同时间里举行的，则这个班的人数最多会是_________人，最少会是___________人. [答案]62，41 提示：作出图形可得，最多人数是13+10+11+28=62，最少人数是28+13=41．

11题图

12．已知集合M和P中的元素个数相等，则当M

28 11 101328 2 1 10 P={a，b，c，d，e，f}时，M中的元素个数最多可以是x个，最少可以是y个，则xy=_______________．

[答案]18 提示：M中的元素最少有3个，此时P中元素是MP中不在M中的另外3个，即x=3；当M=MP=P时，M中的元素最多，即y=6，故xy=18．

13．已知PM，card(M)n，card(P)12[答案]15 提示：已知即12n，且c则n=__________. ard(ðP8，M)3n8n，解得n15．

3

14．在一次运动成绩抽查中，对某班100米、200米和跳远这3项运动成绩进行了抽查统计，已知有23人在100米、200米这两项中成绩达标，有15人在100米、跳远这两项中成绩达标，有27人在200米、跳远这两项中成绩达标，其中100米成绩达标的有38人，200米成绩达标的有40人，跳远成绩达标的有28人，若全班共有53人，只有4人一项也未达标，则该班在这次运动成绩抽查中三项成绩都达标的有___________人. [答案]8 提示：设欲求人数为x，由容斥公式有38+40+28-23-15-27+x=53-4，解得x=8．

15．对任意两个正整数m、n，定义某种运算（用表示运算符号）：当m、n都是正偶数或都为正奇数时，mnmn（如464610，373710等）；当m、n中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，mnmn（如343412、434312等），则在上述定义下，集合M{(a,b)|ab36,a,bN*}中元素的个数为______________________．

[答案]41 提示：（1）当m、n都是正偶数或都为正奇数时，mnmn36，

∴m1m2m35或或……, n35n34n1即此时集合M中共有35个元素；

（2）当m、n中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，

∵mnmn36，

∴m1m36m3m12m4m9，或，或，或，或，或，

n36n3n9n4n1n12即此时M含有6个元素，

综合以上可得M中共有63541个元素．

16．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学最多有______________人。

B（8）

A（12）

[答案]10 （10）

提示：设A={参加数学课外活动小组的同学}，B={参加物理课外活动小组的同学}，C={参加化学课外活动小组的同学}，欲求的即为ABC的最大值，由于至少C（6）

参加了一科学习的人数有36人，故当至少参加了两科学习的同学都参加了三科学习时，所求的人数最多，此时有1(22181636)10人。如图所示可能比较2

16题图

清楚地看出这一问题的结论。

17．给出下列命题：

①若card(A)card(B)，则A=B；

②若card(A)card(B)，则card(AB)card(AB)；

③若AB，则card(AB)card(A)card(B)；

④若A，则card(A⑤若AB，则card(AB)card(B)；

B)card(A)；

则其中正确的命题的序号是____________.

[答案]③④

提示：注意集合与集合中元素的个数这是两个不同的概念，举特例思考．

18．已知甲班共有50名学生，在一次班主任与全班学生共同参与的智力竞赛活动中，已知对其中的问题A和问题B分别能回答出来的各有40人和35人，对这两个问题都回答不出来的有5人，求能同时回答出这两个问题的人数.

[解答]注意到参加竞赛的实际有51人，而有5人未回答这两个问题，设能同时回答这两个问题的有x人，由容斥公式，有46=40+35-x，所以x=29，即能同时回答出这两个问题的共有29人. 19．在小于1000的正整数中，既不能被5整除也不能被9整除的数共有多少个？

[解答]全集中共有元素999个，设在这其中能被5整除的数集为A，能被9整除的数集为B，

则能被5，或能被9整除的数集中的元素个数是[999999999]+[]-[]=199+111-22=288，5945∴既不能被5整除也不能被9整除的数集中共有元素999-288=711个. 20．在一次学校综合运动会上，某班共有28名同学参加了比赛，其中有15人参加了游泳比赛，8人参加了田径比赛，14人参加了球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加这三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有几人？仅参加游泳这一项比赛的又有几人？

[解答]设同时参加田径比赛和球类比赛的有x人，借助Venn图分析，不难得到关于x的方程（8-3-x）+(14-3-x)+x+3+3+9+0=28，解得x=3，所以仅参加游泳一项比赛的有9人，同时参加田径比赛和球类比赛的有3人. 21．已知从1到100这100个自然数组成的集合为M；

（1）M中能被2整除，或者能被3整除的元素有多少个？

（2）M中既不能被5整除，又不能被7整除的元素有多少个？

[解答]（1）设M中能被2整除的数组成的集合是A1，能被3整除的数成的集合是B1，能被6整除的数组成的集合是C1，由自然数整除的性质，

card(A1)=[

100100100]=50，card(B1)=[]=33，而card(C1)=[]=16，

236∴M中能被2整除，或能被3整除的元素共有50+33-16=67个；

（2）设M中既不能被5整除，又不能被7整除的数组成的集合是P，

则ðMP即是由M中能被5整除，或者能被7整除的数组成的集合，

同上理可得card(ðMP)=[100100100]+[]-[]=20+14-2=32，

5735∴card(P)1003268；

即M中既不能被5整除，又不能被7整除的元素共有32个.

22．50名学生报名参加A、B两个课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生的3，5报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两个组都没有报名的人数比同时报名参加A．B两组人数的都没有报名的人数.

[解答]设同时报名参加两个组的人数为x，则两个组都没报名的人数为图可得（30-x）+(33-x)+x+(1还多1人.求同时报名参加A．B两个组的人数和两个组31x1，由Venn311x1)=50，解得x=21，∴x1=8；

33故同时报名参加两个组的有21人，两组都没报名的有8人. 23．已知A．B．C三个工厂联营生产同一种产品，哪

个厂生产的就盖上哪个工厂的厂名章，如果是两个厂或三个厂联合生产的，那么产品上就会同时盖有这两个厂或三个厂的厂名章.今有一批产品，发现其中盖过A厂、B厂、C厂厂名章的产品分别为18件、24件、和30件，同时盖有AB厂、BC厂、CA厂厂名章的产品分别有12件、14件和16件，问这批产品总数最多有几件？最少有几件？

[解答]如图所示，设A、B、C三厂生产的此种产品组成的集合为全集U，

记A

B II

A I

1

2

①

3

C III

23题图

[ðC)]为区域I，B[ðC)]为区域II，

U(BU(AB)BI x-10 x≥10

C[ðB)]为区域III，(AU(A

(ðUC)为区域1，(CB)(ðUA)为区域2，

BC)x，

(CA)1 (ðUB)为区域3，A2 14-x x≤14

3 16-x x≤16

C为区域①，并设card(AII x-2 x≥2

III x x≥0

①

30+x 依题意可以作出下表：

区域

合) card(集12-x x的范围

x≤12

10≤x≤12

由表中分析得出30+x可以由n=3时的容斥公式算得，即

30+x=card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)

card(CA)card(ABC)，

由于上述各集合中的元素个数的计算必须满足各个对应的x的范围，

综合知x的取值范围是10≤x≤12，∴40≤30+x≤42；

所以这批产品最少有40件，最多有42件.

24．已知全集U=Z，集合A={x|x3x280}，集合B={x|

（1）求card(A2x2}，

x6B)；

C)cardA(C)5，card(AB()10，且card(B（2）若cardC求集合A

BC)1，C中的元素个数. x22，解得-12≤x<-6，

[解答]（1）由x3x280，解得-7≤x≤4，由x6∴A={-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，B={-12，-11，-10，-9，-8，-7}，

∴AB{-12，-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，

即得card(ABC，并求集合A

B)17；

B{7}，而card(ABC)1，∴ABC{7}，

C)

（2）由（1）A∴card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AA)card(ABB)card(Bcard(C

即AC)=12610155118，

BC中共有18个元素. 25．在一次国际性科学大会上，共有2002位数学家参加，其中每人至少有1335位的曾经合作者.证明：可以找到4位数学家，他们中的每两个人都合作过. [分析]从表面看，这道题与本课外阅读材料似乎毫无联系，仔细分析，每一位数学家的合作者组成的集合，难免会出现交叉部分，会不会出现其中的某3个集合的交集非空呢？据此有望利用集合中元素的个数来找出这样的4位合作者，具体办法是从两个人的合作者中逐级向上查找，当与某三位数学家的合作者的集合中至少有一个元素时，则这一问题即得到了解决. [解答]记数学家为ai（i1，2，……，2002），

与ai合作过的数学家的集合记为Ai（不含ai本人），

不妨设数学家a1与a2合作过，则

card(A1A2)card(A1)card(A2)card(A1A2)2133520020，

从而必有数学家a3A1而card(A1A2，

A2)card(A3)card[(A1A2)A3]，

A2A3)card(A131335220021

此即说明必有数学家a4(A1A2A3)，

这样我们就找到了4个数学家a1,a2,a3,a4，他们之间两两合作过.

26．设pi(i1，2，……，m)为自然数n的全部质因数，求证：(n）n

其中(n)为不超过n且与n互质的自然数的数目（称为欧拉函数）. (1i1m1). pi[解答]设U={1，2，……，n}，Ai={a|aU,pi|a}，i=1，2，……，m；

则(n)=card(痧UA1注意到card(A1)[UA2?UAm)，

A2)[n]，……，

p1p2n]，card(A1p1card(A1A2Am)[n]，而pi为n的全部不同的质因数，

p1p2pm上面所得各式的[

]都可以去掉，

由于痧UA1且痧UA1UUA2痧UAmU(A1A2A2Am)，

Am中元素并在一起恰为U，

A2?UAm中的元素与A1m∴(n)card(U)nnnm

(1)p1p2pmi1pi1ijmpipj=n(1111111m(1))n(1)(1)(1). pppppppppi11ijmiji12m12mm