小结教学设计范文

《（区间）函数的最值》教学设计

中山市杨仙逸中学 李叆铭

一、教材分析

本节课是人教版高中数学必修1第一章《集合与函数概念》中1.3.2函数的最值，学习函数的最值，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念，丰富对函数的认识的过程，对提升学生数学抽象与数学运算的数学素养很有帮助。通过学习讨论，可以使利用函数最值解决生活中遇到的最大收益与最低成本的问题在学生的学习过程中得到提升，更有益于提升学生数学建模的数学素养。

学生在初中已经接触过二次函数的最值问题。基于高中阶段所接触的二次函数多为有约束条件的区间函数，对这类函数的最大值与最小值进行求取是学生在高中阶段学习中的一大难点。

二、学情分析

学生为普通高中高一学生，学生在初中已经了解了二次函数的定义与取得最值的各类情况，并在实际生活有过一定运用，会用二次函数的最值来解决一些简单的生活问题，但对二次函数在指定闭区间上的最大最值问题还有比较欠缺的。

三、教学目标：

1.

掌握二次函数的最值讨论，指定闭区间上的二次函数最值求法。

2.

在实际情境中，能根据不同的需要，选择恰当方法求最值。

四、教学重难点：

体会和理解二次函数在闭区间上最值问题的解法，并逐步培养对学习内容进行讨论的意识和习惯。

五、教学过程

（一）复习回顾

问题1：什么是函数的最大值与最小值？

设函数

的定义域为I，如果存在实数M满足：

①

对于任意的 x∈I ，都有 f(x)≤M ；

②

存在 x0∈I ，使得 f(x0)=M . 那么，我们称M是函数

的最大值。

类似的，如果存在实数m满足：

①对于任意的 x∈I ，都有 f(x)≥m ；

③

存在 x0∈I ，使得 f(x0)=m . 那么，我们称m是函数

的最小值。

问题2：二次函数的一般形式、开口方向、对称轴与顶点坐标分别是什么？

二次函数的一般形式为：y=a

当a

时，图象的开口

向上；当a

时，图象的开口向下 . 对称轴为：X=

顶点坐标为： ，

设计意图：通过对函数的最大值与最小值的定义和二次函数相关知识的复习为本课时的知识的学习做铺垫。

（二）新知讲解

以中学生勤工俭学的实际例子引入问题：

一群高中学生利用寒假勤工俭学，他们在年宵花市投了一个摊位并计划采购一批单价是20元的儿童玩具售卖，前期的市场调查的数据分析显示：如果以30元的单价出售的话，花市期间他们可以购进400件并全部卖出，如果把销售单价提高1元，就会少卖20件。如果你是负责人，你会如何决定此玩具采购数量和单价来为团队创造最大收益呢

通过跟学生一起观察二次函数的图象在自变量x取值位于不同区间的时候最大值与最小值的变化情况引出（区间）函数的最值问题（本课时需要解决的问题）

归纳：

求二次函数（1）

f(x)ax2bxc在闭区间 [m，n]上的最值或值域的一般方法

判断x0= b2a是否属于 [ m，n]；

（2）

求最值：

a) 当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）

中的较大者是函数的最大值,较小者是函数的最小值； b) 当x0

[m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.

设计意图：

学生在初中已经了解二次函数最大最小值的基础上，本课联系二次函数在闭区间上的最大最小值的求法，加深对区间函数的最值的理解记忆。

（三）例题讲解

例题：求函数

(x)=

-2x-3 在以下区间上的最值:

(1) x∈[–2，0 ] (2) x∈[ 2，4 ]

(3)x∈ ， (4) x∈ ，

解：(1)因为x0= b2a＝1不属于 [ －2，0]，而f(-2)=5,f(0)=3 所以

(x)=

-2x-3在[ －2，0]上的最大值是5，最小值是3 (2)因为x0= b2a＝1不属于 [2，4]，而f(2)=－3,f(4)=5 所以

(x)=

-2x-3在[2，4]上的最大值是5，最小值是－3 (3)因为x0= b2a＝1属于 [－1，2]，而f(-1)=0,f(1)=－4，f(2)=－3 所以

(x)=

-2x-3在[－1，2]上的最大值是0，最小值是－4 (4)因为x0= b2a＝1属于 [0，5]，而而f(0)=3,f(1)=－4，f(5)=12 所以

(x)=

-2x-3在[ －2，0]上的最大值是12，最小值是－4 设计意图：通过对同一个二次函数在四个不同的闭区间上的最大值与最小值的求取，让学生体会区间函数的最大最小值求法的运用，明确在不同的闭区间上求二次函数最大最小值的方法，进而明确相关条件下区间函数的值域的求法。

（四）巩固练习

练习:已知函数y=x2+2x+2,x∈D,求函数在下列给定的D中的最值：

①

[-3,-2]； ② [-2,1] ； ③ [1,3]

设计意图：学生模仿例题，通过对同一个二次函数在四个不同的闭区间上的最大值与最小值的求取，体会区间函数的最大最小值求法的运用，明确在不同的

闭区间上求二次函数最大最小值的方法，进而明确相关条件下区间函数的值域的求法。

（五）课堂小结

1.函数的最值

2.二次函数在闭区间上的最值

（六）课后作业

（1）求函数

在区间 ， 上的最值。

（2）求函数

在区间 ， 上的最值。

（七）课后讨论探究

问题1：某人有长为30米的篱笆材料，他需要利用一面墙（墙的长度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆(与墙垂直)的矩形花圃。

（1）请用学过的知识设置一个求花圃面积的函数关系式；

（2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。

问题2：“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：

“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度

(单位：千克/年)是养殖密度

(单位：尾/立方米)的函数。当

不超过4 (尾/立方米)时，

的值为2 (千克/年)；当

时，

是

的一次函数；当

达到20 (尾/立方米)时，因缺氧等原因，

的值为0 (千克/年).

（1）当

时，求函数

(

)的表达式；

（2）当养殖密度

为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)

可以达到最大，并求出最大值。

设计意图:两个练习为利用二次函数的最值来解决实际问题的题目，而且已知条件比较抽象，但学生可以从已经学习过的知识入手，体会利用函数知识解决实际问题的过程与方法，培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。

《（区间）函数的最值》变式训练

1.某产品的成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x-0.1x2. x∈(0,240)，若每台产品售价为25万元，问生产者如何安排产量才能不亏本。

2.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每上提1元，则销售量就会减少10个，为了获得最大销售利润，此商品的销售价应定为（ ）元

A）12 B）14 C）16 D）18 3.某广场有一喷水池，水从地面喷出。若以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度为（ ）米. A）4 B）3 C）2 D）1

4. 在羽毛球比赛中，若以水平地面为x轴，出球点在地面上的投影点为原点O，建立平面直角坐标系，则羽毛球的某次运动路线可以看作是抛物线y=-

x2+bx+c的一部分，其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是4米，则球飞出的最大高度为（ ）米. A）

B）

C） D）

5由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若成本y与销售价格x之间的关系式是y=-x2+10x+20(5≤x≤11,y＞0).则最低成本是

6.

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：

“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度

(单位：千克/年)是养殖密度

(单位：尾/立方米)的函数。当

不超过4 (尾/立方米)时，

的值为2 (千克/年)；当

时，

是

的一次函数；当

达到20 (尾/立方米)时，因缺氧等原因，

的值为0 (千克/年).

（1）当

时，求函数

(

)的表达式；

（2）当养殖密度

为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)

可以达到最大，并求出最大值。

变式训练参考答案

1.某产品的成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x-0.1x2. x∈(0,240)，若每台产品售价为25万元，问生产者如何安排产量才能不亏本。

解：由25x-y≥0可以得到 x2+50x-3000≥0 ∴ (x+200)(x-150)≥0 ∵ x∈(0,240) ∴ 150≤x＜240 ∴生产者应该安排不低于150台的产量才能不亏本. 2.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每上提1元，则销售量就会减少10个，为了获得最大销售利润，此商品的销售价应定为 元

A）12 B）14 C）16 D）18 解：B. 3.某广场有一喷水池，水从地面喷出。若以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度为（ ）米. A）4 B）3 C）2 D）1

解：A.

4. 在羽毛球比赛中，若以水平地面为x轴，出球点在地面上的投影点为原点O，建立平面直角坐标系，则羽毛球的某次运动路线可以看作是抛物线y=-

x2+bx+c的一部分，其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是4米，则球飞出的最大高度为（ ）米. A）

B）

C） D）

解：D

5由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若成本y与销售价格x之间的关系式是y=-x2+10x+20(5≤x≤11,y＞0).则最低成本是 解：∵y=-x2+10x+20=-(x-5)2+45 ∴函数对应的抛物线开口向下，对称轴为x=5,闭区间 ， 位于对称轴的右侧

故函数在x＝11时取得最小值9. 6.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：

“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度

(单位：千克/年)是养殖密度

(单位：尾/立方米)的函数。当

不超过4 (尾/立方米)时，

的值为2 (千克/年)；当

时，

是

的一次函数；当

达到20 (尾/立方米)时，因缺氧等原因，

的值为0 (千克/年). （1）当

时，求函数

(

)的表达式；

（2）当养殖密度

为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)

可以达到最大，并求出最大值。

解：(1)由题意：当0＜x≤4时，v(x)＝2；

当4＜x≤ 0时，设v(x)＝ax＋b，显然该函数在[4，20]是减函数，

1a＝－，820a＋b＝0，由已知得解得

54a＋b＝2，b＝.2故函数v(x)＝15－x＋，

82(2)依题意并由(1)可得

2，

0＜x≤4，x∈N*，4≤x≤ 0，x∈N*.

f(x)＝15－x＋x，

8222x，

0＜x≤4，x∈N*，4≤x≤ 0，x∈N*.

当0≤x≤4时，f(x)为增函数，故fmax(x)＝f(4)＝4×2＝8；

1511 当4≤x≤ 0时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋

，

8288fmax(x)＝f(10)＝12.5. 所以，当0＜x≤ 0时，f(x)的最大值为12.5. 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．

《（区间）函数的最值》教学反思

对于二次函数，学生初中已经简单了解，并会简单的使用。但在高中的数学学习过程中，由于学生对函数的概念又有了新的认识，因此对二次函数以及它的最值（特别是指定闭区间上的最值）需进一步学习与研究，这也有利于学生对函数最大最小值概念的理解，同时为后续的学习打好基础。

在本节的课堂教学中，首先对以往所学习的关于二次函数和函数最值等内容进行复习，加深对二次函数及其最大最小值概念的理解与记忆。在新课引入上，由于学生已经知道二次函数的定义以及二次函数的最小值与最大值等内容，为此，本课采用知识点填空的形式来进行引入。但是从让学生通过观察函数图像到归纳解决方法显得有些突兀，如果让学生动手画出二次函数的图像再进行讨论归纳可能会更好。这更有助于培养学生动手画函数图像以及阅读、观察、归纳的能力。

本节课设置了三道练习题，分别为求二次函数在不同的闭区间上的最值或值域，学生可以模仿前面例题求解，题量显得有点少，没有起到检验学生对本节课的学习效果的作用。

为弥补课堂上的不足之处，我在课后变式训练题目中同样设置了一些相同类型的题目，以便学生更透彻理解本节课的内容。