习题2.2评课稿

2．2.2

对数函数及其性质(一)

明目标、知重点

1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．

1．对数函数的定义

一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

2．对数函数的图象与性质

定义

底数

a>1

y＝logax (a>0，且a≠1)

0

定义域

值域

单调性

共点性

函数值特点

在(0，＋∞)上是增函数

(0，＋∞)

R

在(0，＋∞)上是减函数

图象过点(1,0)，即loga1＝0

x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；

x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；

x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 函数y＝logax与y＝log1x的图象关于x轴对称

a对称性

[情境导学]

某种细胞分裂时，得到分裂个数t是分裂次数n的函数，可以用指数函数表示为t＝2n，反过来，如果知道分裂后的细胞个数也可求出分裂的次数n，即n＝log2t，而且对于每一个细胞个数t，有唯一的分裂次数n与之相对应，因此n是关于t的函数．习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即y＝log2x.这就是本节我们要研究的对数函数．

探究点一

对数函数的概念

思考1

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝

log573012P(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t.那么t是P的函数吗？为什么？

答

t是P的函数．因为对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝log定的年代t与它对应，所以，t是P的函数.

思考2

在思考1中，t＝log吗？

5730573012P，都有唯一确12P就是一个对数函数，据此，你能归纳出这类函数的定义答

一般地，我们把函数y＝loga

x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为x∈(0，＋∞)．

思考3

判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？

答

对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为大于0且不等于1的常数，真数仅有自变量x这三个条件，才是对数函数．如：y＝logax2；y＝loga(4－x) ；y＝2logax都不是对数函数．

例1

求下列函数的定义域：

(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)；(3)y＝loga(9－x2)；

(4)y＝log2(16－4x)．

解

(1)由x2>0，得x≠0，

∴函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}；

(2)由4－x>0，得x<4，

∴函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x<4}；

(3)由9－x2>0，得－3

∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3

(4)由16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2，

∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．

反思与感悟

此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)来求解．

跟踪训练1

求下列函数的定义域：

(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝(4)y＝log3x. 解

(1)由1－x>0得x<1，

∴所求函数定义域为{x|x<1}；

(2)由log2x≠0，得x≠1，又x>0，

∴所求函数定义域为{x|x>0且x≠1}；

11；(3)y＝log7；

log2x1－3x

11－3x>01(3)由，得x<；

31－3x≠01∴所求函数定义域为x|x<3；

x>0x>0(4)由，得；

log3x≥0x≥1

∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}．

探究点二

对数函数的图象及性质

思考1

你能根据列表法在同一坐标系画出函数y＝log3x及y＝log1x的图象吗？

3答

函数y＝log3x及y＝log1x的图象如图所示：

3

思考2

根据思考1中画出的函数y＝log3x及y＝log1x的图象的特征，你能抽象出它们的3性质吗？

答

两图象都位于y轴右方，都经过点(1,0)，这说明两函数的定义域都是(0，＋∞)，且当x＝1时，y＝0.y＝log3x的图象是上升的曲线，y＝log1x的图象是下降的曲线，这说明前者在3(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是减函数．

思考3

你能根据函数y＝log3x及y＝log1x的性质，归纳出函数y＝logax(a＞0且a≠1)的3性质吗？

答

函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，过定点(1,0)，当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数，当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．

思考4

你能从函数y＝log3x及y＝log1x的解析式的关系上说明其对应的函数图象的关系3吗？

答

利用换底公式，可以得到：y＝log1x＝－log3x，又点(x，y)和点(x，－y)关于x轴对称，3所以，y＝log3x和y＝log1x的图象关于x轴对称．

3例2

求函数y

＝log2|x|的定义域，并画出它的图象．

解

函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．

函数解析式可化为y＝log2x

x>0log

x<0

，

2－x其图象如图所示(其特征是关于y轴对称)．

反思与感悟

画对数函数y＝loga,1)，(1,0)，1ax的图象时，应抓住三个关键点(a，－跟踪训练2

画出函数y＝lg |x－1|的图象．

解

(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．

(2)再画出函数y＝lg |x|的图象(如图)．

(3)最后画出函数y＝lg |x－1|的图象(如图)．

例

比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．

解

(1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，

所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4

(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，

所以它在(0，＋∞)上是减函数，

于是

log0.31.8>log0.32.7；

1.

(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

于是loga5.1

当0

于是loga5.1>loga5.9. 反思与感悟

比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．

跟踪训练3

设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则(

) A．a＞b＞c

B．a＞c＞b

C．b＞a＞c

D．b＞c＞a

答案

A 1111解析

a＝log3π＞1，b＝log23，则＜b＜1，c＝log32＜，∴a＞b＞c. 2222

1．给出下列函数：

①y＝log2x2；②y＝log3(x－1)；③y＝logx＋1x；④y＝logπx. 3其中是对数函数的有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

A 解析

①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．

2．下列不等号连接错误的一组是(

) A．log0.52.2>log0.52.3

C．log34>log56

答案

D 解析

对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．

对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．

466对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．

355对D，由π>e>1得，logeπ>1>logπe可知错误．

3．函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．

答案

(0，6] 解析

利用对数的真数是正数，偶次方根非负解题．

B．log34>log65 D．logπe>logeπ

x>0，要使函数f(x)＝1－2log6x有意义，则

1－2log6x≥0.

解得0

答案

(2,1) 解析

当2x－3＝1，即x＝2时，对任意的a>0，且a≠1都有y＝loga1＋1＝0＋1＝1，所以函数图象y＝loga(2x－3)＋1恒过定点(2,1)，故点P的坐标是(2,1)．

5．求下列函数的定义域：

1(1)y＝；

log33x－2(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．

log33x－2≠0，3x－2≠1，解

(1)由得

3x－2>0，3x>2.

2解得x>，且x≠1. 312∴y＝的定义域为{x|x>，且x≠1}．

3log33x－2－4x＋8>0，(2)由题意得2x－1>0，2x－1≠1，

x<2，1解得x>2，x≠1.

1∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x|

2[呈重点、现规律]

1．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响．无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．

2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．

3．两个函数图象的对称性

(1) 特例

1函数y＝ax与函数y＝()x的图象关于y轴对称

a

推广

(2) 特例

推广

函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称

函数y＝logax与函数y＝log1x的图象关于x轴对称

a函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称

一、基础过关

x3，x≤0，11．已知函数f(x)＝那么f(f())的值为(

) 8log2x，x>0，

11A．27

B.

C．－27

D．－

2727答案

B 11解析

f()＝log2＝－3，

8811－f(f())＝f(－3)＝33＝. 8272．函数y＝log2x－2的定义域是(

) A．(3，＋∞)

C．(4，＋∞)

答案

D log2x－2≥0，解析

由题意得：解得x≥4. x＞0.B．[3，＋∞) D．[4，＋∞)

13．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于(

) 2A．(－∞，0)∪[1，＋∞)

C．(－∞，1]

答案

C 解析

M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．

4．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是(

)

B．[0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0,1)

答案

C 解析

∵a>0且a≠1，∴f(3)＝a3>0，又f(3)g(3)<0，∴g(3)＝loga3<0，∴0

答案

(1,2) 3－a>1，0<3－a<1，解析

由题意，得或

01，

解得1

答案

(4，－1) 解析

y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；

令y＋1＝0，则y＝－1. 7. 求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝log2(x－2)；

(2)y＝log4(x2＋8)．

解

(1)由x－2>0，得x>2，

所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R. (2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，

所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R. 又因为x2＋8≥8，

3所以log4(x2＋8)≥log48＝，

23即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．

2二、能力提升

8．函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(

)

答案

A 解析

当x＞0时，f(x)＝logax＋1，其图象可以看作f(x)＝logax的图象向上平移一个单位而得

到的，又因f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)是偶函数，所以x＜0时的图象与x＞0时的图象关于y轴对称．

29. 若loga<1，则a的取值范围是(

) 32A．(0，)

32C．(，1)

3答案

D 22解析

由loga<1得：loga1时，有a>，即a>1；

322当0

310．函数f(x)＝log3(2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围是________．

答案

m>8 解析

由题意知，2x2－8x＋m>0恒成立．

∴Δ＝(－8)2－4×2m<0，即m>8. 11．作出函数y＝|lg(x－1)|的图象．

解

(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．

2B．(，＋∞) 32D．(0，)∪(1，＋∞) 3

(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．

(3)最后画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．

12. 已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．

(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；

(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．

解

(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，

故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，

f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2. (2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，

①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0

113. 若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．

2解

由x2－logmx<0，得x2

11要使x2

11∵x＝时，y＝x2＝，

24111∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm4. 22411∴≤m4，即≤m.又0

21611∴≤m<1，即实数m的取值范围是[，1)．

161611