习题3.1优质课教学设计

函数与方程

[最新考纲] 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

知

识

梳

理

1．函数的零点

(1)函数的零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数的零点与方程的根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[感悟·提升] 1．一点提醒

函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．

2．三个防范

一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；

二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；

三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.

考点一

函数零点的求解与判断

【例1】

(1)设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于(

)．

A．(0,1)

C．(2,3)

B．(1,2)

D．(3,4) 2ln x－x＋2x，x＞0，(2)(2014·郑州一模)函数f(x)＝的零点个数是________．

4x＋1，x≤0

答案

(1)C

(2)3 规律方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【训练1】

(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)内的零点个数是(

)．

A．0

B．1

C．2

D．3 (2)(2013·重庆卷)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间(

)．

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

答案

(1)B

(2)A

考点二

根据函数零点的存在情况，求参数的值

e2【例2】

已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋x(x>0)．

2(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

规律方法

函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

|2－1|，x＜2，【训练2】

(2014·鞍山模拟)已知函数f(x)＝3，x≥2，x－1x

若方程f(x)－a＝0

有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(

)．

A．(1,3)

C．(0,2)

答案

D 考点三

与二次函数有关的零点分布

【例3】

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

审题路线

由f(x)在[－1,3]上只有一个零点⇔f(x)＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根⇒计算知Δ＞0恒成立⇒令f(－1)·f(3)≤0⇒求出a的范围⇒对端点值检验⇒得出结论．

规律方法

解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．

【训练3】

已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

1．函数零点的判定常用的方法有：

(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0. 2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．

3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．

创新突破2——函数的零点与函数极值点的交汇

【典例】

(2013·安徽卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为(

)．

A．3

B．4

C．5

D．6

B．(0,3)

D．(0,1)

答案

A [反思感悟] (1)强化函数零点的求法，函数与方程的转化技巧，本题的突破点是方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数转化为f(x)＝x1与f(x)＝x2的根的个数之和．

(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标高考的指导思想．

【自主体验】

(2014·广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(

)．

A．f(a)＜f(1)＜f(b) B．f(a)＜f(b)＜f(1) C．f(1)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(1)＜f(a) 答案

A