信息技术应用 用计算机绘制函数图象教学设计

3.2.3

指数函数与对数函数的关系

【学习要求】

1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】

通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的

自变量

,而把这个函数的自变量－作为新的函数的

因变量.

我们称这两个函数

互为反函数.

即y＝f(x)的反函数通常用

y＝f1(x)

表示. 2.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax

互为反函数

,它们的图象关于

直线y＝x

对称. 3.互为反函数的图象关于直线

y＝x

对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝ax随着x的增加,函数值的增长速度

逐渐加快

,而对数函数y＝logax增长的速度

逐渐变得很缓慢.

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]

设a为大于0且不为1的常数,对于等式at＝s,若以t为自变量可得指数函数y＝ax,若以s为自变量可得对数函数y＝logax.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系

导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y＝2x及y＝log2x的图象.

问题1函数y＝2x及y＝log2x的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？

答：函数y＝2x的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y＝log2x的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y＝2x的定义域和值域分别是函数y＝log2x的值域和定义域. 问题2在列表画函数y＝2x的图象时,当x分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y值分别是什么？

111答：y值分别是:

,

,

,

1,

2,

4,

8. 842111问题3在列表画函数y＝log2x的图象时,当x分别取,,,1,2,4,8时,对应的y值分别是什么？

842答：y值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？

答：在列表画y＝log2x的图象时,可以把y＝2x的对应值表里的x和y的数值对换,就得到y＝log2x的对应值表. 问题5观察画出的函数y＝2x及y＝log2x的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？

答：函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称. 问题6我们说函数y＝2x与y＝log2x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称,那么对于一般的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax又如何？

答：对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称. 探究点二

互为反函数的概念

问题1对数函数y＝logax与指数函数y＝ax是一一映射吗？为什么？

答：是一一映射,因为对数函数y＝logax与指数函数y＝ax都是单调函数,所以不同的x值总有不同的y值与之对应,不同的y值也总有不同的x值与之对应. 问题2对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？

答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新－的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f1(x)表示. 问题3

如何求函数y＝5x (x∈R)的反函数？

yx答：把y作为自变量,x作为y的函数,则x＝,y∈R.通常自变量用x表示,函数用y表示,则反函数为y＝,x∈R. 55例1

写出下列函数的反函数: 2x1(1)y＝lg x;

(2)y＝logx;

(3)y＝3. 3解：(1)y＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y＝10x (x∈R). 1x11(2)y＝logx (x>0)的底数为,它的反函数为指数函数y＝3 (x∈R). 332x22(3)y＝ (x∈R)的底数为,它的反函数为对数函数y＝logx (x>0). 333小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y＝f(x)中解出x; (3)x、y互换并注明反函数的定义域. 2x＋3跟踪训练1

求下列函数的反函数:(1)y＝3x－1;

(2)y＝x3＋1 (x∈R);

(3)y＝x＋1 (x≥0); (4)y＝

(x∈R,x≠1).

x－1

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11解：(1)由y＝3x－1,得x＝(y＋1), 即所求反函数为y＝(x＋1); 3333(2)函数y＝x3＋1的值域为R,

x3＝y－1,x＝y－1,

所以反函数为y＝x－1 (x∈R); (3)函数y＝x＋1 (x≥0)的值域为y≥1,

由x＝y－1,得x＝(y－1)2,

所以反函数为y＝(x－1)2

(x≥1).

2x＋32x－2＋5y＋3x＋3555(4)因y＝＝＝2＋, 所以y≠2,由＝y－2, 得x＝1＋＝, 所以反函数为y＝

(x≠2).

x－1x－1x－1x－1y－2y－2x－2－例2

已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1,3),其反函数y＝f1(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达式为_______

f(x)＝2x＋1_________. －解析：

∵y＝f1(x)的图象过点(2,0),

∴y＝f(x)的图象过点(0,2).

∴2＝a0－k,∴k＝－1.∴f(x)＝ax＋1. 又∵y＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1,

∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1. －小结：由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知:若点(a,b)在y＝f(x)的图象上,则点(b,a)必在y＝f1(x)的图象上. 跟踪训练2函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a的值. 解:根据反函数的概念,知函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1),∴1＝loga3,∴a＝3. 探究点三

指数函数与对数函数的增长差异

问题1观察函数y＝2x与y＝log2x的图象,指出两个函数的增长有怎样的差异？

答:根据图象,可以看到,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝2x随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y＝log2x的增长的速度逐渐变得很缓慢. 问题2你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？

答

y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) 图象

定义域

值域

R (0,＋∞)

当x>0时,y>1; 当x<0时,0

R 当x>1时,y>0; 当0

性质

练一练：当堂检测、目标达成落实处

－1.函数y＝21x＋3 (x∈R)的反函数的解析表达式为

(

) x－33－x2A.y＝log2

B.y＝log2

C.y＝log2

22x－3－－D.y＝log22

3－x22. ∴y＝log2.故选A. y－3x－3解析:∵y＝21x＋3(x∈R),∴21x＝y－3, ∴1－x＝log2(y－3),即x＝1－log2(y－3)＝log2112.设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),若ga－1＝,则a等于 411A.－2

B.－

C.

22

D.2 (

) 11111－解析:因函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),所以g(x)＝2x, 由ga－1＝, 得2＝22, 即＝－2,所以a＝. 24a－1a－1－－－－3.设a>0,a≠1,函数f(x)＝ax,g(x)＝bx的反函数分别是f1(x)和g1(x).若lg a＋lg b＝0,则f1(x)和g1(x)的图象

(

A

) A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于原点对称

D.关于y＝x对称

1解析:由lg a＋lg b＝0,得a＝,所以函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象关于y轴对称,它们的反函数的图象关于x轴对称. b课堂小结：

1.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称. 2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y＝f(x)中解出x; (3)x、y互换并注明反函数定义域. 3.反函数的定义域是原函数的值域,并不一定是使反函数有意义的所有x的集合.

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