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函数的基本性质复习

教学目标：

函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性

教学过程

一、单调性

1．定义：对于函数yf(x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2))，那么就说函数yf(x)在这个区间上是增（或减）函数。

2．证明方法和步骤：

（1）

设元：设x1,x2是给定区间上任意两个值，且x1x2；

（2）

作差：f(x1)f(x2)；

（3）

变形：（如因式分解、配方等）；

（4）

定号：即f(x1)f(x2)0或f(x1)f(x2)0；

（5）

根据定义下结论。

3．二次函数的单调性：对函数f(x)ax2bxc(a0)，

b的左侧单调减小，右侧单调增加；

2ab当a0时函数f(x)在对称轴x的左侧单调增加，右侧单调减小；

2a当a0时函数f(x)在对称轴x例：讨论函数f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性。

4．复合函数的单调性：复合函数yf(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：

yf(u)

增

↗

增

↗

增

↗

减

↘

减

↘

减

↘

增

↗

减

↘

减

↘

增

↗

ug(x)

yf(g(x))

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

例：函数yx22x3的单调减区间是

（ ）

A.(,3] B.[1,) C.(,1] D.[1,)

5．函数的单调性的应用：

判断函数yf(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例1：奇函数f(x)在定义域(1,1)上为减函数，且满足f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围。

例2：已知f(x)是定义在0,上的增函数，，且f(2)1，f(xy)f(x)f(y)，

（1）求f(1),f(4)；（2）满足f(x)2f(x3)的实数x的范围。

二、奇偶性

1．定义：

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数；

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。

2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。

若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)0；

3．判断一个函数的奇偶性的步骤

⑴先求定义域，看是否关于原点对称;

⑵再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)

是否恒成立。

1x2例：判断函数f(x)

的奇偶性。

x22分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性

奇偶性的定义的等价形式：对不易找到函数f(x)与f(x)关系时，常用以下等价形式：

f(x)f(x)f(x)f(x)0；f(x)f(x)f(x)f(x)0

。 当f(x)0时，也可用f(x)1来判断。

f(x)

4．奇偶函数图象的性质

奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。

偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。

应用：①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。

例:

作出函数y=x-2|x|-3的图象。

5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。

(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。

3例:设f(x)是R上的奇函数，且当x(,0)时，f(x)x(1x)，求当x(0,)时2f(x)的解析式。

两个非零函数f(x),g(x)的定义域都为R，则“f(x),g(x)都是偶函数”是“f(x)g(x)为偶函数”的

条件。

例3：已知：函数f(x)定义在R上，对任意x，y∈R，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)且f(0)0。

(1)求证：f(0)1；(2)求证：f(x)是偶函数；

例4：判断下列函数的奇偶性：

（1）（3）x222

（2）f(x)1xx1

x211f(x)x(x)

（4）f(x)2x1

312f(x)log3

例5：设函数yf(x)的定义域为D,00,，且对任意的x1,x2D都有（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并加以证明。

f(x1x2)f(x1)f(x2)。

课后专练

1.若f(x)的定义域为R，对任意a,bR有f(ab)=f(a)f(b),当a0时f(a)0且f(2)1

(1)判断f(x)在R上的单调性； （2）若f(

2.已知函数y8xax5在[1,)上递增，那么a的取值范围是________. 2x)f(3x)2，求x的取值范围。

2

3.设函数f(x)为R上的增函数，令F(x)f(x)f(2x)

（1）、求证：F(x)在R上为增函数；（2）、若F(x1)F(x2)0，求证x1x22

4．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（

）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13)

B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

C．f(9)＜f(－1)＜f(13) ＜f(－1)＜f(9) 5．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（

）

A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］

C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］

B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) D．f(13)6．函数y=x－21x＋2的值域为__

___．

7．设yfx是R上的减函数，则yfx3的单调递减区间为

.

8．函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__

．

9．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．

10．已知函数f(x)=ax2+bx+c

(a0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 既奇又偶函数

(

) D.非奇非偶函数

11．已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]，则a=__________ ,b=_________ 12．已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于

(

)A. -26

D. 10 B. -18 C. -1013．已知f(x)=x

11(1)判断f(x)的奇偶性，(2)证明f(x)>0 x212

14．已知函数y=|x-a|在区间2,上是增函数，那么a的取值范围是__________. 15．若函数（fx）为偶函数，且当-2≤x≤0时，（fx）=x+1，那么当0＜x≤2时，（fx）=_________. 16．若f(x)ax1在区间(2,)上是增函数，则a的取值范围是

x217.已知yx22(a2)x5在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（ ）

A

a2 B

a2 C

a6 D

a6

18.当x[0,1]时，求函数f(x)x2(26a)x3a2的最小值

19.已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有一最大值5，求a的值

20．已知函数f(x)ax值

321111x的最大值不大于，又当x[,]时,f(x)，求a的2642821．函数f(x)对任意xR，有f(x)f(x)0，f(x1)f(x1)，求f(2008)

22、函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（

）