复习参考题课堂实录【3】

指数型，对数型，函数模型的综合应用举例

铜仁二中 宋平

一、教材的分析 1.本内容在数学中的地位；是对数函数和指数函数的应用，解决指数型和对数想模型实际问题应用。

2.学习本内容所需要的旧知识；指数函数，对数函数的性质。

3.本内容对以后学习的影响. 加深对指数函数，对数函数性质的理解。

二、探究的三维目标

1.知识与技能：理解，掌握指数函数，对数函数模型的解题方法

2.过程与方法：通过生活中的实际问题引入新课，解决指数函数，对数函数模型的相关问题，利用指数函数，对数函数的性质。

3.情感、态度、值价观的探究：通过合情推理，演绎归纳的思想运用，培养学生对立统一，相互联系，相互转化，从特殊到一般的辩证唯物主义观点，大胆探索，善于观察的学习精神。

三、教学重点、难点

重点：能够利用指数函数或者对数函数模型解决实际问题。

难点：能够收集收据信息，建立拟合函数解决实际问题。

四、对话教学的过程：

教学环节

一、课前预习(生本对话)

二、

对话目的（教学内容）

预习教材p

让学生独立完成自测题，找出自己的疑点和困惑点

对话形式

对话意图

1021051.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4 个……现有2个这样的细胞，分裂x学生独立完成

次后得到细胞的

个数y与x的函数关系式是( ) x-1

x A.y=2x

B.y=2C.y=2x+1D.y=2

学生口答，教书板书

学生探究，教师启发引导

“天棚大酒店”自2014年1月1日营业以来，生意蒸蒸日上.第一个月的营业额就达到了100万元，第二个月比第引入新知

一个月增长了百分之五.照此增长，第三个月的营业额为多少?第x个月的营（师业额是多少？

生）对

100（1+0.05）2

100（1+0.05）x-1

利用指数函数和对数函数的性质解决实际问题

话

这是指数函数模型，今天我们将学习指数函数和对数函数模型！

指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝xN·(1＋p)(其中N为原来的基础数，

p为增长率，x为时间)的形式．另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用．

什么样的函数是指数函数模型、对数函数模型呢？

1.指数函数模型

(1)表达形式：___________ (2)条件：a,b,c为常数，a≠0,b>0,b≠1. 2.对数函数模型

(1)表达形式：_____________. (2)条件：m,n,a为常数，m≠0,a>0,a≠1. 类型一：指数型函数的应用

例1. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依

三、据.早在1798年，英国经济学家马尔萨质疑

斯（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出探究，

了自然状态下的人口增长模型：

yy0ert

排难

其中t表示经过的时间，y0表示t＝0解惑，

时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口发展

数据资料：

年思维 份

（生生对话）

人数

1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207

1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 指数函数模教师组织师生探讨得出结论：

型和对数函数模型的解题思路和解题方法

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.000 1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符. （2）如果按表的增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿? 解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为r,r12,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9.

由55 196(1r)56 300

1可得1951的人口增长率为

r0.020 0

1同理可得，

r20.021 0

r30.022 9

r40.025 0

r50.019 7

r60.022 3

r70.027 6

r80.022 2

r90.018 4

于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为

r(r1r2r3r4r5r6r7r8r9)90.022 1令

y55 196,

0则我国在1950～1959年期间的人口

增长模型为

y55 196e0.022 1t,tN.

根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.

验证其准确性

由图可以看出,所得模与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.

（2）将y=130 000代入

y55 196e0.022 1t,tN.由计算器可得

t38.76.

所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.

类型二：对数型函数的应用

类型三：数据拟合函数的应用

110 17.50 120 20.92 130 26.86 140 31.11 150 38.85 160 160 47.25 55.05 例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表

身高

60 70 (cm) 体重

6.7.9(kg) 13 0 80 9.99 90 12.15 100 15.02

⑴根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．

⑵若体重超过相同身高男性体重平均

值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？

分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）

根据散点图选择合适的函数模型

(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分x布情况，我们可以考虑用函数y=a•b来近似反映. 解：⑴将已知数据输入计算机，画出图象；根据图象，选择函数

yabx进行拟合．

如果取其中的两组数据（70，7.90）,（160，47.25）代入函数yabx

70

7.9ab得16047.25ab由计算器得a2,b1.02

从数y21.02.

x而函模型为 将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．

所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为

y21.02x.

⑵将x=175代入y21.02x得y21.02175

由计算器计算得 y≈63.98， 由于

7863.981.221.2所以，这个男生偏胖．

【变式练习】

1.科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强是y(10Pa)，y与x之间的函数关系式是y=ce（c,k为常量）在海拔5(km)处的大气压强为0.568 3 (10Pa)，在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.536 6 (10Pa)，

（1）问海拔6.712 (km)处的大气四、

课堂

练习

（生本对话）

1.

学生独立完成

（2）海拔为h千米处的大气压强

5为0.506 6(10Pa)，求该处的海拔h. 2.反馈矫正．

2.

压强约为多少？（精确到0.000 1) 堂练习巩固：指数函数模型和对数函数模型的解题思路和解题方法

3．今有一组实验数据如下表所示：

t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则体现这些数据关系的最佳函数模型是(

) (A)u＝log2t

(B)u＝2t－2 t2－1(C)u＝

(D)u＝2t－2

2【总结提升】

五、探1.指数函数应用题的解题思路：

有关指数函数的应用题一般都会给出函数关系式，

究小结（生要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给

生与

出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，

然后根据值回答其实际意义. 师生

2.函数拟合与预测的步骤

对话）

⑴

能够根据原始数据、表格, 绘出散点图. ⑵

通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合55kx5通过学生课通过对数学问题平等的交流，师生之间可以可师生共同总以共享经结——交流验、共享知——完善．

识、共享智慧，从而更好的提升高中生的数学

直线或拟合曲线．

如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的．

因此，使所有的点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大致相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．

⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．

⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．

六、课

外作业（生本对话）

教材p 习题3.2.第2、3、5题

由学生独立完成．

素养。

107巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力和探究能力．

教学反思：本节课通过实际例题，教师和学生共同探讨，利用指数函数和对数函数的相关性质解决一下实际问题，并总出结指数函数模型和对数函数模型的解题思路和解题方法。通过本节课的学习使学生懂得数学来源于生活，又反会解决生活中的实际问题。让学生在学习和探究中，增加学生的学习兴趣，从而更加好好的学习数学。