习题2.2名师教学实录

2.2.2对数函数及其性质教学设计

一、教材分析

本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

二、学生学习情况分析

我们是一个县级中学，学生的基础比较薄弱，学生的能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求

的拔高，关注学习过程。

三、设计理念

本节课以我们学校“6+1”高校课堂模式为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习

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的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标

1.理解对数函数的定义.

2.会画出对数函数的图像，探索研究对数函数图像及其性质

.

3.应用对数函数性质解决问题

五、教学重点与难点

重点：对数函数的图像与性质

难点：底数对对数函数值变化的影响

六、教学过程设计

教学流程：背景材料→

导出课题

→

函数图象→

函数性质

→问题解决→归纳小结

（一）课题导入

1．让学生看材料

材料（幻灯片）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：

2

是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

图

4—1 （如图

4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了）

那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用tlog157302P，估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数.

（二）课堂思.议环节

学生先独立阅读课本，然后小组讨论所遇见的问题。

（三）课堂的展.评.讲环节

(1).引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数ylogax(a0，且a1)

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叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意x5辨别．如：

y2log2x，ylog5

都不是对数函数．○2

对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．

(2).根据对数函数定义填空；

例1 （1）函数



log

a

x

2

；的定义域是_________

y

(2) 函数的



log

a

(

4



x

).

定义域是_____

y

说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展.

[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”.因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点] (3).探索研究，形成感知.

1.确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的图象和性质

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？

4

学生2：先画图象，再根据图象得出性质

教师：画对数函数的图象是否像指数函数那样也需要分类？

学生3：按a1和0a1分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：

步骤一：1.用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

ylog2x

ylog1x

2

2.用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

ylog3x

ylo1gx

3步骤二：观察对数函数ylog2x、ylog3x与ylog1x、ylog1x的图23象特征

，看看它们有那些异同点;每组图像有什么对称关系。

步骤三：利用计算机，选取底数a(a0，且a1)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？

步骤四：归纳出能体现对数函数的代表性图象与性质. 2．学生探究成果

如图

4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数

ylog2x、ylog1x、

ylog3x、ylog1x的图象

23

5

图4—3

图4—4

如图4—5学生选取底数a=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数a是如何影响函数ylogax(a0，且a1)图象的变化。

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3.有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = logax

（a>1）、y = logax (0

图4—6

图4—5

y = logax （a>1）

y = logax (0

函数定义域，值域

图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；

都过（1、0）点；

函数的单调性：当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；

7

当0

（四）理性认识、发现性质

1．确定探究问题

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质

2．学生探究成果

在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：

函

数

y = logax （a>1）

y = logax (0

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图

像

定义域

值

域

单调性

过定点

取值范围

R+ R 在（0，+ 

）上是增函数

（1，0）即x=1，y=0 0

x>1时，y>0 R+ R 在（0，+ 

）上是减函数

（1，0）即x=1，y=0 00

x>1时，y<0 设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成。

（四）

课堂检.练环节

问题一：

比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log 23.4 , log 28.5

（2）log

9 0.31.8, log 0.32.7

（3）log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )

独立思考：1.构造怎样的对数函数模型？2.运用怎样的函数性质？

（五）归纳小结、巩固新知

一.对数函数的定义.

二.对数函数的图像

三.比较两个对数值的大小和性质.

四

.数形结合,分类讨论的思想. （六)

课后作业

P73练习题

(七）、教学反思

高效课堂实施几年，每次设计函数的教学，始终存有困惑，同时也有遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算机未能普及，都影响函数的正常教学。

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