习题2.2教学教案设计

对数函数的图象和性质

教学目标：

(一)

知识与技能

（1）理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质；并能初步应用它们解决问题；

（2）培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法。

(二)过程与方法

1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化．

2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会对数函数的本质。

(三)情感态度与价值观

在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力．在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心。

重难点：

重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。

难点：底数a对图象的影响以及对数函数性质。

教学过程

（一）创境激疑

幻灯片显示指数函数当a>1与0

问题1 ：

指数函数y = ax (a>0 且a≠1)有反函数吗？

讨论中给出解答：由y = ax得x = ㏒ay,由指数函数的单调性可知，对于y在值域C中的每一个值，通过式子x = ㏒ay，x在定义域A中都有唯一的值和它对应，那么式子 x = ㏒ay表示x是y的函数。所以指数函数y = ax (a>0 且a≠1)有反函数，反函数为y= ㏒ax (a>0 且a≠1)（x>0）． 教师：函数y= ㏒ax (a>0 且a≠1)叫做对数函数,其中x为自变量,定义域为(0,+∞)．

教师：指数函数研究中体现了一个函数研究的基本内容和研究方法，类比指数函数的研究方法，对数函数应研究哪些内容？

众学生：对数函数的图象和性质. (引出课题) 问题1的设计直入主题，既帮助学生主动回忆和提取同化新知识的原认知结构，又构建适当的认知差，引起学生的认知冲突,从而激发学生的探索心理。而且为建立课题内容规划方向。

（二）设问导探提出本节课题

问题2：怎样研究对数函数y= ㏒ax (a>0 且a≠1)的图象？ 学生困惑时教师提示：在指数函数中，我们是怎样研究它的图象的？

学生发现了思考的方向，回忆、类比后解答：模仿指数函数的研究方法，先用描点法画四个具有典型意义的对数函数y=log2x, y=log3x, y=log1/2x,y=log1/3x 的图象，再由特殊总结一般．

教师：很好，这位同学能从指数函数的研究方法类比推理到对数函数的研究方法.想一想，还有其它方法吗？(必要时教师提示对数函数与指数函数的关系) 学生1：我们已研究了y = ax (a>0 且a≠1)的图象，只要作出它关于直线y=x的对称图象即得y= logax

(a>0 且a≠1)的图象. 学生2：要分a>1与0

(a>1)的图象是特殊到一般的思想，由指数函数的研究方法到对数函数的研究方法是类比推理思想，而对a分a>1与01）与y=logax (0

问题3：我们已经研究了对数函数y= ㏒ax

(a>0 且a≠1)的图象，接下来怎样研究它的性质？从哪些方面进行研究？

由前面的探索过程，学生受到启发，纷纷进入积极的思考状态并大胆的发言. 学生甲：由图象可知对数函数定义域为(0,+∞). 教师：为什么？

学生甲：：因为原函数的值域为(0,+∞).y= ㏒ax

(a>0 且a≠1)的图象在y轴的右侧. 教师：好，我们的同学道出了一个重要的数学思想——数形结合思想，我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数与形，不可须臾分，数缺形时少直观，形缺数时难入微”，所以数与形是我们研究数学的两种手段.我们同学应自觉培养这种思想.

学生乙：值域是R，因为函数的图象是向上或向下无限延伸的. 学生丙：

对于a>1，当01时，y>0；

对于00，当x>1时，y<0.

学生丁：对数函数当a>1时，图象是从左到右上升的，在(0,+∞)上是增函数；当0

学生戊：还可以从指数函数的单调性导出对数函数的单调性，当a>1时，指数函数递增，对数函数也递增；当0

对于性质的讨论，学生的积极表现正是受图象讨论模式的启发，自觉地类比指数函数研究方法，寻求知识的内在联系，自然而然地运用了数形结合与类比推理的数学思想。作为教师的任务，一方面让学生建立起建构性的数学思维方式，另一方面应为学生创设开放的、活动的环境，以开发学生蕴藏着的丰富智慧. （三）理性归纳

多媒体显示对数函数的图象和性质比较一览表

．（此处从略）

教师：上述探讨过程归纳起来体现了哪些数学思想方法？

众学生：

特殊到一般，数形结合，分类讨论的数学思想方法.

教师：对．还有观察与分析、概括与抽象、类比与归纳的数学思维能力．

其实,得到对数函数的图象和性质,并不是最终目的,重要的是研究过程中思维能力的锻炼和思想方法的体会. 教师：至此，我们已共同探讨了对数函数的图象和性质，而怎样从数的角度严格验证这些性质呢？这个问题留给同学们课外思考.下一节课我们上对数函数的性质应用. 作业

(1)联想对数函数的图象记忆对数函数的性质，同时能根据对数函数的性质想象和记忆图象；

(2) 回顾此课中运用的数学思想方法；

(3) 类比指数函数与对数函数的图象和性质，并做一份指数函数与对数函数的图象和性质比较表；

(4) 验证对数函数的性质

建构主义的教学观认为：知识并不能简单地由教师或其它人传授给学生,而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构.建构主义学***特征是“个人体验”、“智力参与”和“自主活动”，本案例围绕这三大特征展开.在帮助学生提取原认知结构和对信息加工、贮存的过程中，坚持以学生为主体，给学生以充分的智力参与机会，而学生与周围环境——教师、同学、自身、对象的相互作用使主体的大脑处于高度激活状态，最终获得了客体丰富、复杂、多元的特征，这就是主体获得的“个人体验”. 整个学习过程是主体的主动建构过程，从最初的回忆到一步步的深入，每一次的构造都是后一次构造的基础，例如设问导探中，主体完成问题3的探索正是受探索问题2的经验作用，证明学生已主动把新知识纳入原认知结构中，再在解决新问题中比较运用.这种比较和综合唯有学生的“智力参于”才可能实现.对建构主义学习来说，活动是第一位的，活动是个人体验的源泉，是智力参于的保证，但活动必须是学习者主动和积极进行的，因为学生是信息加工的主体，是知识的主动建构者.为了保证主体的自主活动，教师的导必须有“度”的把握，否则将限制学生的建构活动，回到“灌输式教学法”中去.