信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优质课教案

课题：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

安徽省铜陵市枞阳县第三中学

张胜峰

三维目标：

知识目标：

①通过例题，让学生进一步熟悉和掌握求轨迹方程的基本方法。

②通过感受椭圆不同形式的定义，加深对椭圆的认识与理解，体会类比以及分类讨论的数学思想；

能力目标：通过对相关轨迹方程的探求，体验观察、猜想、证明的探索过程，掌握提出问题、分析问题与解决问题的常用方法，培养学生的推理能力，训练学生的逻辑思维。

情感目标：感受探求知识的快乐与成就感，激励科学探索的勇气。

教学重点：轨迹方程的探求，几何画板的轨迹展示。

教学难点：轨迹的证明与分类讨论。

教学方法：探究、演示。

教学过程：

一、复习引入：

椭圆定义----------- 生：（在平面内）与两定点F1、F2距离之和等于常数2a，（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

教师提醒：一前提（在平面内）一条件（2a>|F1F2|）；

二、例题探讨: 例1（书P50例6）已知点M（x,y）与定点F（4，0）和定直线L：x=的距离的比是常

数

，求点M的轨迹。

解析（直接法求轨迹方程）：依题意得：

，经化简得轨迹方程为

,

所以，点M的轨迹是焦点在x轴上,长轴、短轴长分别为10、6

的椭圆。

变式练习：改定点为（2,0），定直线为

为

。

答案：（ ）

，距离比仍然为，则轨迹方程

,

形状仍然是椭圆（非标准位置）

三、探究问题一：

已知F是定点，l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离的比e是小于1的常数，则点M的轨迹形状是椭圆吗？

教师展示几何画板文件，通过动画显示动点轨迹形状（椭圆）

教师演示，改变e的大小，观察椭圆形状的变化，寻找规律

变式：1.定点在定直线上时会出现什么情况？

2.e=1,e>1又分别会出现什么情况？

四、教师给出椭圆的第二定义：

平面内到定点距离与到定直线的距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。

五、学生练习：

1

a2c0)的距离和它到定直线l:x点M(x，y)到定点F(c，的距离的比是常数(ac0)，ac求点M的轨迹方程

MFc解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合PM|，da由此得(xc)2y2a2xc222c．将上式两边平方，并化简得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)．

ax2y2设acb，就可化成221(ab0)．

abx2y2a20)的准线方程是x对于椭圆221(ab0)，相应于焦点F(c，．根据椭圆的abca20)的准线方程是x，所以椭圆有两条准线．

对称性，相应于焦点F(c，c六、探究问题二：月球绕地球按椭圆形轨道运转（地球是此椭圆的一个焦点），离地球最近和最远的位置在哪？

学生观察、猜测，教师通过动画直观验证。

怎么用数学方法给予论证呢？

教师与学生一道，利用椭圆的第二定义，推导椭圆的焦半径公式：设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。∴，

由学生用焦半径公式说明近地点和远地点的来历。

七、探究问题三：

教材P44例2：在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

解法1（相关点法）：设点M（x,y），P(x0,y0)，则x0=x,y0=2y由题意得x02+y02=4,所以x2+4y2=4 故点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆。

解法2：（参数方程法）：因为点P在圆x2+y2=4上，不妨设点P(2cosθ,2sinθ)，则D（2cos,0）M是PD中点，所以M（2cosθ,sinθ），消参数，整理，得x2+4y2=4, 故点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆。

教师利用几何画板，给出图形验证。

推广：对圆等比例压缩或拉伸得到的轨迹是椭圆

2

八、探究问题四：

教材p53第7题：已知圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，点P是圆上的动点，若线段AP的中垂线L交OP于Q,当P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

先由学生用定义法讨论出轨迹形状，教师再用几何画板给予图形验证。

变式：定点A落在圆O外部时，对应轨迹还是椭圆吗？

学生猜测，教师再用几何画板验证。

九、小结

1．轨迹方程的求法

2．椭圆的第二定义

3. 椭圆的焦半径公式

十、作业

p54

B1、3 十一、教学反思

3