信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优秀教案设计

湖南省长沙市高中青年数学教师说课比赛

椭圆的简单几何性质

——普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1

参赛教师: 阳才福 选手单位:宁乡县第四中学

2010年4月8日

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课题：椭圆的简单几何性质

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1第二章第二节

宁乡县第四中学 阳才福

[一、教材分析] 1.教材的地位与作用：

从考试看：根据新课程改革的标准，高考要求掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

从内容看：椭圆的简单几何性质是在学习椭圆的定义、标准方程的基础上，利用椭圆的标准方程及图形来探究椭圆的简单几何性质。

从方法看：通过本节课的学习，为后面研究双曲线及抛物线的几何性质提供了基本模式和理论基础。总之，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用。

2.教材的重点与难点：

教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程来研究椭圆的几何性质；从学生的体验来讲，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的展现过程，如思维角度和思维方法。 教学难点：椭圆的几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学从而使一个简单的几何性质成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程与平台。 3.教学的三维目标：

(1)知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质。

(2)过程与方法：不仅要注重知识的产生与形成的过程，更要注重对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主学习、合作探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察分析、逻辑推理、理性思维的能力。 第 2 页

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(3)情感、态度与价值观：在教学中通过多媒体充分揭示“数”与“形”的内在联系，让学生体会数学的统一美、和谐美、对称美，从而激发学生更加积极主动的学习精神、探索勇气、爱国热情。

4.学情分析：

本节课符合学生认知新事物、探究新问题的一般规律，即利用曲线的方程研究曲线的性质，“数--形--数”和谐、统一。但是，学生在观察、分析、发现、探究问题的过程中，会出现对椭圆的简单几何性质的认知不够深刻、全面，需要教师的合理引导。

[二、教法学法]

1.教学方法：

(1)引导发现法：

①符合教学原则；

②能充分调动学生的主动性和积极性。

(2)自学、合作探究法：

①有利于学生对知识进行主动构建；

②有利于突出重点、突破难点、关注细节。

(3)类比迁移法：

利用类比迁移法探究“相似”问题，符合玻利亚的解题策略，同时渗透等价转换、数形结合、分类讨论等数学思想。

2.学法指导：

通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。

给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察、分析、第 3 页

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发现、讨论、探究，教师应因势利导、合理评价，逐步养成科学严谨的学习态度。 3.教学手段：

利用多媒体课件(几何画板、PPT)等辅助教学。 [三、教学过程]

1.流程框图：

创设情境

提出问题

师生互动

学导结合

自主探究

合作交流

布置作业

分层完成

2.教学程序：

学生归纳

完善总结

学以致用

回归生活

(1).创设情景，提出问题：2008年9月25日21时，随着一声巨响，我国研制的神州七号载人飞船，从酒泉卫星发射中心顺利升空，不久，飞船进入了以近地点200公里，远地点347公里的椭圆轨道围绕地球运行，举世瞩目，万众欢腾。请问你能利用所学的知识求出椭圆轨道的方程吗？你想知道椭圆有哪些重要的几何性质吗？今天这一节课我们就一起来探讨这些问题。（板书课题：椭圆的简单几何性质）

设计意图：通过大家熟悉的重要事件，导入新课，情景交融，激发学生的爱国热情和强烈的求知欲。在学生原有认识的基础上，提出问题与方向，培养学生大胆猜想、归纳论证的思维方法。

(2).师生互动，学导结合: x2y2问题一：

设P(x，y）是椭圆221(ab0)上的任一点，则x、y的取值

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范围呢？ (先用方程探讨，然后启发学生通过数形结合解决：先观察，再求出椭圆与坐标轴的交点，即可写出结论)。

y2x2变式：221(ab0)中的x、y的范围是什么？

ab设计意图：体会运用方程研究曲线性质的方法，培养学生数形结合的思想以及知识的类比与迁移的能力。

(3).自主探究，合作交流：

阅读教材P44，并思考、讨论椭圆的另外两个性质：对称性和顶点。

(大屏幕打出自学提纲，让学生带着这些问题，自学提纲) x2y2①椭圆221(ab0)有何对称性？

如何根据曲线方程判断其对称性？

ab②什么是椭圆的顶点、长轴、短轴、长半轴长、短半轴长？椭圆有几个顶点？

（学生自学，可相互讨论，教师巡回参与指导）

设计意图：以学生自学为主体，教师辅助为主导。引导学生独立运用方程研究曲线的性质并提高学生的自学能力。

练习一：判断下列曲线的对称性? y2x2①221(ab0) ②x22y0

ab练习二：下列说法是否正确？

x2y2①椭圆221(ab0)的长轴就是x轴、短轴就是y轴（ ）

ab②椭圆的焦点必在其长轴上（ ）

设计意图：学练结合，跟踪巩固，深化理解，螺旋上升。

x2y2问题二：设B1是椭圆221(ab0)短轴的一端点，F1是其一个焦点，试ab探究三角形OB1F1的几何特征? 设计意图：给学生足够思考的时间与空间，加深对特征三角形的认知，为下一步做第 5 页

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好铺垫。

a B1y b O x F1c

问题三：已知椭圆的长轴是A1A2和短轴B1B2，怎样确定焦点的位置？

(引导学生利用特征三角形来考虑：以点B1为圆心，以a为半径作圆弧，交长轴于两点，这两点就是焦点）

设计意图：进一步认清a、b、c的关系，通过多媒体展示a、b、c的几何意义，从而掌握a=b+c的本质。

问题四：圆的形状是相同的，而椭圆的形状圆扁不一。那么如何刻画它的

“圆”、“扁”的程度呢？

实验：用事先准备好的细绳和铅笔，根据教材提示，两人一组，动手操作，

探究c/a的变化是如何反映椭圆的圆、扁程度的？

发现：当c/a越接近于0时，椭圆越“圆”，当c/a越接近于1时，椭圆越“扁”。

结论：把焦距与长轴长的比c/a叫做椭圆的离心率，其范围是(0，1)。

设计意图：简约的提问，不简单的本质。锻炼学生动手动脑的能力以及合作探究的

意识。先反馈学生操作的效果，然后，教师通过几何画板展示椭圆随着离心率逐渐

接近0越圆而越接近1而越扁的动画过程。并且为今后研究圆锥曲线的统一性带来

方便，体现了数学的统一美。

练习三：判断下列哪一个椭圆更接近于圆？

x2y2x2y21

1与252094222设计意图：学练结合，及时巩固。同时培养学生的数学应用意识。

(4).学以致用，回归生活: 第 6 页

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例1.求椭圆16x+25y=400 的长轴和短轴的长、离心率、顶点和焦点的坐标，

并请画出这个椭圆的草图。

设计意图：让学生再次认识基本概念、基本量的含义。

不仅训练了学生的思维即化非标准式为标准式，又培养了学生的解题习惯。

例2.回归情境问题，试求神州七号的轨迹方程？

设计意图：本题难度稍大，所以师生共同解决（需先建立直角坐标系，设出标准方程，结合椭圆的性质用待定系数法解决）。强化知识，解决悬念，首尾呼应，增强了学生的数学应用意识，使知识的运用得到升华。

(5).学生归纳，完善总结：

学生归纳总结，并由学生补充完善。

设计意图：提高学生的归纳、整理能力，能构建全面、系统的知识网络结构。

(6).布置作业,分层完成：

作业布置：

必做题：P49，T3、4 选做题：P49，T6 设计意图：因材施教，分层教学。让每个学生都能学有所用，从而激发每个学生的学习积极性、感受探究的乐趣。

3.板书设计：

22一、几何性质

1.

范围

2.

对称性

3.

顶点

二、例题

————-- ————

三、小结

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[四、教学评价] 这节课安排了创设情境、提出问题、师生互动、合作探究、学以致用、回归生活、完善总结、分层练习等几个教学环节。以教师主导、学生主体，合作探求、讨论交流为基本模式，从而实现教学目的，完成教学任务。

在整个教学过程中，采用引导发现法、合作探究法、类比迁移法等教学方法实施教学，注重等价转化、数形结合等数学思想的渗透，通过探索，有利于培养学生的创新能力，体现教育改革的时代精神。

教学中采用多媒体的手段，画面丰富生动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构。 本节课把更多的时间、机会留给学生，为学生创设了良好的学习情景，搭建了探究的平台，让学生充分的交流、探索。教学中要关注学生是否积极地参与到探索的过程中去，是否收到了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。

[五、设计理念] “以人为本，以学论教”，把知识的形成过程化为学生自学、探究、发现和运用知识的过程，把学习的主动权交给学生；把思维的空间留给学生；把探索的机会让给学生；把体会成功后的快乐送给学生，让学生在操作中探索，在探索中领悟，在领悟中理解，以体会数学之美，探究之趣。

“授人鱼，不如授人渔”，教会学生思考，教会学生如何学习，乃是学生终生都受用的本领！

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