小结课堂实录【2】

课

题：函数复习小结（二）

教学目的： 1.熟悉并掌握函数的对称语言. 2.进一步熟悉二次函数性质及其应用. 3.把握数形结合的特征和方法. 4.能够应用函数思想解题. 5.了解与函数有关的数学模型. 教学重点：数形结合的特征与方法

教学难点：函数思想的应用

授课类型：复习课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引入：

通过上一节学***家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用. 二、例题分析：

例1若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）

A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0) 在x＜2时，y=f(x)为减函数

∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2) 即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A

通过此题可将对称语言推广如下：

（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴

2（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=轴. ab是f(x)的对称2例2求f(x)=x-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值. 解：先求最小值. 2

因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

（1）当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a; (2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a; (3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a 2

(a2)64a, 2

(2a4)

综上所述：f(x)min=2a, 188a, (a2)最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a (1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a; (2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a. 39282-10-5024a5-2-4-610152025716-4-25-10-222a4468-8-104-123-14-32-16-181-4-20-6-4-20-1a2244-568-22故f(x)max=(a3)64a,

(a3)88a, 评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况. 例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a＜b＜c,f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（ ）

A.a＜1,b＜1,且c＞1 B.0＜a＜1,b＞1且c＞1 C.b＞1,c＞1 D. c＞1且11＜a＜1,a＜b＜ ca1.2分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）上为增函数. 观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c＞110.811且＜a＜1,a＜b＜.答案：D ca评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数0.60.40.2-0.20-0.41c0.5a11b1.51a2c2.5-0.6

图象在函数单调性问题中的应用. 例4函数f(x)=x-bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是（ ）

A.f(b)≤f(c) B.f(b)≥f(c) C.f(b)＜f(c) D.f(b)＞f(c) 分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合b,c的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决. 解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-∴b=2,又f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)=x-2x+3

2xxxxxxxxxxxxb=1 22(1)当x＞0时，1＜2＜3,且f(x)在［1，+∞)上是增函数

所以f(2)＜f(3),即f(b)＜f(c)

xxxxxx(2)当x＜0时，1＞2＞3,且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2)＜f(3)，即f(b)＜f(c)

xxxxxx(3)当x=0时，2=3=1 则f(2)=f(3),即f(b)=f(c) 综上所述，f(b)≤f(c). 答案：A 三、课堂练习：

已知f(x)=x-4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t）的解析式. 解：f(x)=(x-2)-8 22xxxxxxxx

(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t＜2时，φ(t)=f(2)=-8. (2)当t＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t-4t-4. (3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数. 故φ(t)=f(t+1)=t-2t-7

22t22t7,

(t1) (1t2)

综上所述：φ(t)=8, t24t4,

(t2)四、课时小结：

本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用. 五、课后作业：

1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q（万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=a10,Qa，该集团今33年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？

解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元

由题意：P+Q=x1060x (0≤x≤60) 332设t=60x,则0≤t≤60,x=60-t

10112852(60-t)+t=-(t-5)+

333385∴当t=5时，即x=35时，（P+Q）max=. 3P+Q=∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元. 8532.已知f(x)2log3x(1x9)，求函数yf(x)[f(x)]的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的x的值

22答案：x3时，y取最大值13；x1时，y取最小值6

3.设集合A[1,1],B[22,]，函数f(x)2x2mx1

22

（1）设不等式f(x)0的解集为C，当CAB时，求实数m的取值范围；

（2）若对任意实数x，均有f(x)f(1)恒成立，求xB时，f(x)的值域；

（3）当mA,xB时，证明|f(x)|9

8答案：（1）1m1 （2）[22,22]

（3）因为对称轴xm1122[,][,]，

44422故只需证明|f(m92929)|，|f()|，|f()|即可

482828十二、板书设计（略）

十三、课后记：