3.4.1 函数与方程名师课堂实录

3.4.1《函数与方程》教学设计

一、教学内容地位及分析：

《函数与方程》是苏教版版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题。本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用. 二、教学目标：

1、在探索方程的根与零点的关系中，构建函数零点的概念，提升学生的数学抽象与数学建模素养；

2、在探索函数零点的存在性定理过程中，理解函数零点的存在性定理，提升学生的直观想象素养；

3、在函数零点存在性定理的运用中，感悟函数与方程思想，提升学生的逻辑推理与运算求解素养；

教学重点：函数零点与方程根之间的联系，理解函数零点存在性定理；

教学难点：理解函数零点的存在性定理. 三、学生学情分析：

通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，具备一定的看图、作图、识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的学习习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数yf(x)在区间（a,b）上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过x轴（次数不限），即曲线与x轴一定有公共点（个数不限），可以用yf(x)来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和函数图像入手，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.

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四、教学策略分析

1.教学方法的选定

在教学中，通过以教师的主导作用和学生学习为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用了多媒体及实物投影，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体.在零点概念的教学上，我充分利用了

“由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广.而在零点存在性定理的教学中，我主要采用了“启发－探究－讨论”的模式，找到问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容，这样的讲解自然且易于理解. 2.教学流程

创设方程

求解情景

零点存在性定理的正向运用

建构函数零点与方程实根的知识结构

积累数学活动经验

引入函数

零点概念

构建零点与实根的关系

确认零点存在性定理

3.教学难点突破

探究函数零点存在性定理先利用问题2引出零点存在性定理的必要性，即不是所有的函数都可以直接求出零点，所以我们有必要掌握零点存在区间的判断方法.而通过问题2的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数yf(x)

，若在开区间（a,b）内一定存在零点，应满足什么条件？通过一天当中24小时天气温度变化曲线图让学生感知、理解零点存在定理的条件，学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.通过分组讨论获得定理适用的条件，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成.

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五、教学过程

教学活动

教师活动

以数学史的形式讲述解方程的历史，而后提出问题：

学生活动

设计意图

通过对数学史的了解增加民族自豪感，激发学生的求知欲. 问题1：你会求下列方程的实根吗？(1)2x10

体会方程的根与函数图象的联系，为零点一．创设情境

(2)x24x50；

学生积极思考，认真概念的引出做好铺问题2：方程lgx2x60这样的方程根应如何求解？

填表，利用实物投影分享结果.回答出方

垫.

二、提出问题给出yaxbxc（a>0）程的根与函数图象和和axbxc0(a0)二次函数和二次方程相应关系填表. 问题3：方程的根与函数的图象有什么联系？通过追问，引导学生准确回答二者的关系. 22x轴交点的横坐标相由特殊到一般，感受等.

学生思考、类比、

归纳. 零点产生的过程，使零点不再抽象，而是更加具体形象，便于零点概念的理解.

1.总结零点概念，提问：零点三、概念引入是点么？ 2.概括零点的意义

3.零点求法：（1）代数法

（2）几何法

通过让学生口答培养理解、归纳

学生的语言表达能力

四、巩固提高给出一个例题，其中第（1） 独立完成，并于台（2）为代数解法，第三个前展式.其中第（3）题共有两种求解思路. 通过例题的设置，加深零点求法，求解过程体现了函数方程思想及数形结合思想. y2xx1为几何解法. 3

（1）如图，请观察，这是某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个不间断的函数图像）。由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度。你能帮助他吗？

推广：对于函数y=f(x)，（1）x[a,b]？

①在7时～11时，即区间（7,11）上温度会不会出现0摄氏度呢？

②若在区间（7，11）上会出现0摄氏度，那么可以有几次？

在什么条件下有且只有一次呢？

学生分小组讨论：

探究1：

通过具体问题的探究，为零点存在性定理讨论的引出进行了铺垫.

由特殊到一般，学生很容易找到问题（1）f(a)f(b)0

（2）f(b)f(c)0

讨论的切入点：即利用端点函数值的符号进行分类，使得问题的引入更加自然. 五、自主探究（2）x[b,c]？

（3）f(c)f(d)0

（3）x[c,d]？

探究2：如果函数是否存在零点，如何去判断？

足什么条件？

巡视指导，适时点拨

组织展示，评价追问

探究4：定理可逆吗？

y=f(x)在区间[a，b]上不间断， f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)是否一定没有零点？ 探究3：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上不间断，且f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？

通过以上学生们的讨论，使得零点存在性定理的生成水到渠成.各小组积极参与，并派代表到前面总结，在讨论过程中，不断的质疑，产生思维的火花，使学生成为课堂的主体.

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例2 判断函数

f(x)x22x5通过题目巩固本节课学生积极思考，独所学知识，加深对本立完成，并利用实物节课函数零点概念和零点存在定理的理解

在（2，3）是否存在零点？. 六、定理应用

变式：

判断函数 f(x)x32x5

投影讲解答题过程. 在（2，3）是否存在零点？

2例

3:已知f(x)x2x3a，八、板书设计

§3.4.1 方程的根与函数的零点

一、函数零点的概念

1.定义

2.方程f(x)=0有实数根y=f(x)图象与y=f(x)有零点

3.零点的求法：代数法、几何法

数形结合思想、函数与方程思想

二、零点存在性定理

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讨论该函数零点个数？

一、数学知识方面

1.函数零点的概念

反思核心任务的解决过程，归纳提升知识、方法.学生亲身经历核心任务的解决过程，体验所蕴含的思想方法，生成一个函数与方程思想

数形结合思想

概念、一种关系和一个定理，符合学生的认知规律.

七、反思总结引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识：一个概念、一个定理、一种关系.数学思想方法

2.零点存在性定理

二、数学思想方法方面

三、例题解析

例1 …………………………………………函数……………………………………

………………………………………

例2 ………………………………………

………………………………………

………………………………………

………………………………………

例3 ……………………………………………………………………………

x轴有交点函数