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函数表示法习题课

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.

已知函数

，若

，则a的值是

A. 3或

B. 或5

C.

D. 3或 或5

【答案】B

【解析】解：若

，则

舍去

若

，则

综上可得，

或

故选B

结合题意，需要对a进行分类讨论，若

，则

；若

，则

，从而可求a

本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是确定 的表达式，体现了分类讨论思想的应用．

的值为

2.

设函数

，则

A.

B.

C.

D. 18

【答案】A

【解析】解：当

时，

，则

，

，

当

时，

，

．

故选A．

当

时，

；当

时，

，故本题先求 的值

再根据所得值代入相应的解析式求值．

本题考查分段复合函数求值，根据定义域选择合适的解析式，由内而外逐层求解

属于考查分段函数的定义的题型．

3.

已知函数

，

，构造函数

，

， ，

那么函数

A. 有最大值1，最小值

B. 有最小值 ，无最大值

C. 有最大值1，无最小值

D. 有最大值3，最小值1

【答案】C

【解析】解：由

得

．

故

，

，

；

第1页，共8页

，

的图象如下，

故作

，

故有最大值1，没有最小值．

故选C．

本题考查了函数的图象的应用，由

得

，从而可得

，

，作出函数图象即可求解．

，

4.

对任意的实数

，

，函数 都满足

恒成立，则

A.

B. 0

C.

D. 2

【答案】A

对任意的实数

，

，【解析】解：函数 都满足

恒成立，

令

，

令

．

故选：A．

令

，再令

，

即可

本题考查了抽象函数的赋值法，恰当赋值是关键，属于基础题．

且

，5.

已知函数 满足：那么

A. 2018

B. 1009

C. 4036

D. 3027

【答案】B

【解析】解：由意题

，且

，

可得令

，

，可得

，

可得

，

那么：

．

故选：B 根据

，且

，可得令

，

，可得

，可得

，即可求解．

本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题．

6.

已知

定义域为 ， ，则

的定义域为

第2页，共8页

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

【答案】B

【解析】解：根据

定义域为 ， ，得

， ，

， ，

， ；

令

， ，

得

， ，

即

，

；

所以

的定义域为 ，

故选：B．

根据

的定义域得出x的取值范围，从而求出 的取值范围，再求

的定义域即可．

本题考查了求函数定义域的应用问题，解题时应注意：一般题目中的定义域是指自变量的取值范围，是基础题目．

7.

已知函数 满足

，且

，当

时，

，则

A.

【答案】A

B.

C.

D.

【解析】解：

函数 满足

，

；

又

，

；

当

时，

，

；

．

故选：A．

根据题意，求出

．

本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用问题，是基础题目．

8.

已知函数 满足

，则

A.

【答案】C

B.

C.

D.

【解析】解：根据题意，函数 满足

，

令

可得：

，

第3页，共8页

令

可得：

，

联立 解可得：

，

故选：C．

根据题意，将

和

代入

可得

，

，联立两式解可得 的值，即可得答

案．

本题考查函数的值的计算，注意利用特殊值法分析，关键是分析

与 的关系，确定x的特殊值．

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

9.

若函数 是一次函数，且

，则

______ ．

【答案】

，或

【解析】解：函数 是一次函数，设

，

．

，即

，

，

由

解得：

或

，或

．

故答案为：

，或

．

由题意，设出

，利用待定系数法求解即可．

本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法

属于基础题．

10.

若函数

，

， ，则 的值域是______ ．

【答案】

，

【解析】解：函数

，

在 ， 和 ，

是单调递减，

在，

， 的值域为

， ，

函数

在

， 上的值域为

，

故答案为：

， ．

根据反比例函数的性质，利用单调性求解即可．

第4页，共8页

本题考查了值域的求法，利用了函数的单调性求解

比较基础．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

11.

已知

，求 的解析式；

已知 是一次函数，且满足

，求 的解析式．

【答案】解：

；

，

；

设

，则：

，

；

；

；

，

；

．

可由条件得到

，【解析】这样

换上x即可求出 的解析式；

待定系数法，设

，便可由

得出

，从而可求出

，

，即得出 的解析式．

考查配方法的运用，换元思想求函数解析式的方法，以及待定系数法求函数解析式．

12.

已知函数 满足

求 的解析式及定义域；

求 的值域．

【答案】解： 根据题意，设

，

则

；

；

即

，定义域是

；

当

时，

，

；

当

时，

；

当

时，

，

，

；

又

，

；

综上，

；

即

， ．

第5页，共8页

【解析】 用换元法，设

，求出x，得出 ，即为 的解析式；

分

，

，

时，求出

的取值范围，即是函数 的值域．

本题考查了函数的定义域和值域的问题，解题时应用换元法求出函数的解析式，根据解析式求出定义域和值域，是基础题．

13.

已知

，求 的解析式．

已知 是一次函数，且满足

求 ．

已知 满足

，求 ．

【答案】解： 方法一：

换元法

设

，则

，

，即

．

所求函数为

．

方法二：

配凑法

所求函数为

．

待定系数法

由题意，设函数为

，

，

即

，

由恒等式性质，得

，

．

所求函数解析式为

．

将

中x换成

，得

得

．

．

【解析】 方法一：

换元法

，方法二：

配凑法

，

待定系数法．

构造方程组法．

本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握换元法，配凑法，待定系数法，方程组法求解析式的格式和步骤是解答的关键．

14.

如图，

是边长为2的正三角形，记

位于直线

左侧的图形的面积为 试求函数 的解析式，并画出函数

的图象．

第6页，共8页

【答案】解： 当

时，

D两点，

如图，设直线

与

分别交于C、则

，又

，

，

当

时，

如图，设直线

与

分别交于M、N两点，则

，

又

，

当

时，

，

综上所述

，

，

【解析】在求 的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．

分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式

对于分段函数，注意处理好各段的端点．

15.

定义在 ，

上的函数 满足下面三个条件：

对任意正数

，

，都有

；

当

时，

；

求 和

的值；

试用单调性定义证明：函数 在 ，

上是减函数；

求满足

的x的取值集合．

第7页，共8页

【答案】解： 由题意：对任意正数

，

，都有

；

令

，

，可得

；

解得：

，

令

，

，可得

解得：

，

再令

，

可得

解得：

．

利用定义证明：设

，

、

，

，

则

，

由

，当

时，

；

，即

，

函数 在 ，

上是减函数；

由 得知

，

不等式

转化为

由 函数 在 ，

上是减函数；

，

解得：

或

．

故得

的解集为： ，

，

对任意正数

，

，

，【解析】都有

；令

，

，可得 的值，令

，可得 的值，令

，

可得

的值，

利用定义法直接证明；

利用 得到的性质和结论，转化为不等式求解．

本题考查了抽象函数的性质及其运用能力，单调性的证明和求解不等式的问题

属于中档题．

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