6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式教案设计（一等奖）

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数学教学设计

教

材：义务教育教科书·数学（八年级上册）

6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式

1．经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系. 教学目标

2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系. 3．通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣. 教学重点

教学难点

通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．

了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系. 学生活动

复习一元一次方程和一元一次不等式的解法．

设计思路

通过解一元一次方程、一元一次不等式为一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系的探讨作好铺垫．

初步感受一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．函数刻画现实世界数量之间变化的关系，方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系．

通过观察函数图像直接找出一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.凸显数形结合的数学思想. 让学生初步感受一次函数、一元一次方程和一元一次不等式三者的特点，体会它们之间的关系，初步形成对数学整体性的认识．

教学过程（教师）

一、热身训练

填空：

（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；

（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；

（3）不等式2x＋4＜0的解集为________. 二、探索归纳

1．一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过点（ ，

），点（ ，

）的直线．

2．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．

归纳总结：

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着第

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紧密的联系. 已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值．

当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．

三、例题讲解

例

一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x

kg，弹簧的长度为y

cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．

你还能用什么方法解决这个问题？

尝试用不同的方法解决问题．

函数求值和变量范围确定的问题可以通过方程、不等式解决．

1．例题是弹簧挂物问题，学生不难列出一次函数的关系式，画出函数图像. 2．通过函数图像的观察结合实际意义，学生容易想到，当弹簧的长度为35

cm时，物体A的质量最大，从而利用方程解决问题. 3．题目中的“不超过”其实暗含的是不等式的模型，所以很自然会考虑用不等式解决问题. 四、巩固练习

1．x取什么值时，函数y＝－2(x＋1)＋4的值是正数？负数？非负数？

2．声音在空气中的传播速度（简称音速）y（m/s）3与气温x（℃）之间的函数表达式为y＝

x＋331．求：

5 （1）音速为340

m/s时的气温；

（2）音速超过340

m/s时的气温范围. 变式训练：

学生自己先做，两人板演.

如果已知一次函数的解析表达式，那么当其中一个变量的值确定时，可以用相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的范围确定时，可以用相应的一元一次不等式确定另一个变量的范围. 第

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3．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝6的解和不等式2x＋4＞6、2x＋4＜6的解．

变式训练与前面的探索活动相呼应，培养学生的逻辑思维能力，进一步渗透数形结合的数学思想.

教师应根据学生情况选择题目，要注意题目的针对性，并结合学生出现的问题进行讲评. 开放式问题的设计，可以使学生进一步加强对三者关系的认识.

尝试：

一辆汽车行驶了35

km后，驶入高速公路，并以105

km/h的速度匀速行驶了x

h.试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解．

五、课堂小结

这节课你有什么收获？

由学生自己先做 (或互相讨论)，然后回答.

函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化过程的重要模型，三者之间相互联系. 尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验. 一方面，函数求值和变量范围确定的问题可以通过方程、不等式解决；另一方面，与方程、不等式有关的数量相等与大小比较的问题，也可以通过函数图像加以解决．

六、布置作业

必做：P165习题6.6第2、3题．

选做：P166习题6.6第4题. 已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像，观察图像并回答问题：

（1）x取何值时，2x－4＞0？

（2）x取何值时，－2x＋8＞0？

过去学习方程和不等式时，是直接面对这些概念，没有把它们与其他概念更多的联系起来.现在是在学习新概念（函数）后回头审视老概念，看问题的角度和高度都发生了变化，认识应更深刻，即应能将老概念纳入扩大后的新知识体系中，这样才能体现学习中的进步.

教师应根据学生情况选择题目．

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（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？

（4）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像与x轴所围成的三角形的面积？

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