数序活动 探寻“勾股数”课件配套优秀教案案例

勾股数的探索

活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数

当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。

怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2? 活动1：

设（a,b,c）为一组勾股数

1.填表：

表1

表2 a 3 5 7 9 b 4 12 24 40 c 5 13 25 41 a 6 8 10 12 b 8 15 24 35 c 10 17 26 37

2.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是

c=b+1

,b、c与a2之间的关系式是

根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85 一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b=

,

c=

. 3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是

c =b+2

，b、c与a2之间的数量关系是

a2+b2=c2

根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50 一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________ 4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？

活动2；计算与验证

a=m2-n2

1．已知数据

b=2mn

①

c=m2+n2

其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？

如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由

2.公元前580年～公元前500年。古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式:

你能证明吗?

a=2n+1

b=2n2+2n

（n为正整数）

②

c=2n2+2n+1 3.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式:

a=n2-1

b=2n

(n>1的正整数)

③

c= n2+1

请你给出证明

利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13).

活动创新

活动3:联想与拓展.

活动收获

在本次活动中，我们对勾股数进行了深入的探索，由简单的勾股数发现其内在的规律，进而对股数计算公式给出证明，并利用类比思想将平面上的问题引入到空间立体图形上，初步感受到科学思维的价值，对今后的教学学习具有十分重要的指导意义