阅读与思考 对数的发明公开课教案

“对数发明”教学设计

新课程标准新增对数学文化方面的要求,设立“数学史选讲”专题,目的在于:利用它激发学生的学习兴趣、培养学生的数学精神、启发学生的人格成长、预见学生的认知发展、指导并丰富教师的课堂教学、促进学生对数学的理解和对数学价值的认识、构筑数学与人文之间的桥梁. 新课程标准意在重视数学发展历史轨迹,而一般地,中学数学处理对数函数是考虑它与指数函数互为反函数的逻辑关系,强调知识的学习,但却忽视了对数发明历史的形成过程,本文拟对数发明史教学设计,将数学史的内容融入课堂教学的一种尝试. 1 问题的引入

学生计算:1) 17. 95 ×0. 08304. 2) 154. 8 ×5. 436 ÷12. 72. 3) (5. 835 ×12. 09) ÷(48. 72 ×0. 8432) . (学生可能会直接进行计算,采取办法要么是手写计算,要么用计算器进行运算,让学生体验大数乘除计算的繁杂性,为引入对数概念埋下伏笔) . 2 对数发明的背景

16 世纪前半叶,欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易,特别是地理探险需要更为准确的天文知识,对计算速度和准确性的要求与日俱增,人们希望将乘除法归结为简单的加减法. 德国数学家约翰·维尔纳首先尝试用三角函数来满足实际的需要,即

sinα·sinβ=12[ cos (α- β) - cos (α+β) ] , cosα·cosβ=12[cos (α- β) + cos (α+β) ] . 计算方法如下:若求小于1 的二个数a与b 的乘积可以先由三角函数查得,使sinα= a ,sinβ= b 的α与β,然后求出cos (α- β)与

cos (α+β) ,再应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数. 由于大于1 的数可用小于1 的数乘上10n 表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的.但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘法和开方,因此,寻找更好

的计算迫在眉睫. (对于这部分内容,如果学生没有学习过三角函数,可以省略不讲. 但当学习三角函数内容时,有必要重提,这样增强中学数学各知识的联系,使学生感受到中学数学各知识点并非是独立的,而是相互紧密联系的. ) 3 对数产生的前奏

让学生观察两个数列,并找出规律: 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 , ⋯

1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,64 ,128 ,256 ,512 ,1024 ,2048 , ⋯

(注意教学时,可采取多种教学方式,如师生共同探讨,小组交流等,以提高学生数学学习的积极性,激发数学学习的兴趣. )数学史料: 德国数学家史提非( Stifel ,1487～1567) 在观察上述两个数列时,称上排的数为“指数”(德文Exponent ,原意是“代表人物”或“代表者”) ,下排的数为“原数”. 史提非发现,上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系,即假定我

们想求下一排任两个数之积,只要计算与这两个数对应的上一排的数之和就行了. 实际上,史提非已经掌握了对数运算法则,因为史提非所谓的“代表者”,本质上是“原数”以2 为底的对数. 4 对数的产生

让学生利用史提非的思想计算1) 17. 95×0. 08304. 课堂教学方式可多样,如组织小组讨论,师生对话等.数学史料:因为在那个时代还没有分数指数的概念,史提非在做任何两个数乘除时同样遇到用数列不能解决的情况,他也感到束手无策,他说:“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”.(这样介绍让学生感受到历史上数学家也同样遭遇困惑、挫折或失败的经历,以避免学生产生一种错觉—数学家几乎理所当然地从定理到定理,数学家能克服任何困难,培养学生在攻克难关时要有锲而不舍的精神和克服困难的勇气. )介绍纳皮尔(Napier ,1550 - 1617) 发明对数的思想方法,如图1图1 假设有两个质点分别沿着线段AZ 和射线A1 Z1 ,以同样的初速运动,其中

沿A1 Z1 运动的质点P 保持原速度,而沿AZ 运动的质点Q的速度以如下的方式变化:其路径上任一点它尚须经过的距离B Z 成正比. 如果当P 位于B1 时, Q 位于B ; 当P位于C1 , D1 , E1 ⋯时, Q 位于C , D , E ⋯那么A1 Z1 就是B Z 的对数, 同样A1 C1 , A1 D1 , A1 E1 就分别是CZ ,DZ , EZ 的对数.实质上,纳皮尔如此定义对数是从等差数列与等比数列的关系中定义对数,即: AZ上各点与端点Z 之间的距离AZ , B Z , CZ , ⋯形成等比数列,而A1 Z1 上各点到A1 的距离A1 B1 ,A1

C1 ,A1 D1 ,A1 E1 ⋯⋯形成等差数列,他借助于运动或者几何来定义的对数是连续的. 由数列定义的对数是离散的.(介绍上面的对数定义后,学生惊叹纳皮尔的聪明和智慧,提起了学生想了解纳皮尔的兴趣,这样避免了对数学史人物的枯燥乏味的介绍,同时,鼓励学生查找相关资料,详细了解纳皮尔,写出学生的感受和对他们的启发,建议学生发表数学史方面的论文. ) 5 常用对数的由来

讲解用常用对数表进行数值乘除计算时,学生很容易地查表计算

1) 17. 95 ×0. 083042) 154. 8 ×5. 436 ÷12. 72的结果,但不知道常用对数为什么以10为底数? 介绍常用对数的由来.数学史料:纳皮尔对数在爱丁堡发表后,当时虽然没有立即引起科学界的重视,却惊动了伦敦的一位数学家布立格斯(Briggs ,1561～1631) ,他对纳皮尔发明的对数深有感慨地说:“纳皮尔用其新颖而奇妙的对数使我能够用脑和手来工作,我从未读过一本能够使我这样惊异和喜爱的书了. 我希望今年夏天能见到他. ”当时已是55 岁的他乘坐马车前往远隔千里的爱丁堡拜访纳皮尔. 在两人的交谈中,纳皮尔详细介绍了他研究和发明对数的经过. 然后布立格斯根据他在牛津大学讲授纳皮尔对数的经验和体会,提出了他的改进意见:建议1 的对数为0 ,10 的对数为1 ,100 的对数为2 ,等等,这样计算起来更简便,而这正好是以10 为底的常用对数的产

生. 两人订出改进计划,但纳皮尔却于第二年就与世长辞了,做出常用对数表的任务就落

在布立格斯的肩上,1624 年布立格斯发表第一张常用对数表.