习题2.1第二课时 公开课

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§2.1.1

指数（第1—2课时）

一．教学目标：

1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；

（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；

（3）掌握分数指数幂的运算性质；

（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.

2．过程与方法：

通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.

3．情态与价值

（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；

（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.

二．重点、难点

1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；

2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解

三．学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法

2．教具：多媒体

四、教学设想：

第一课时

一、复习提问：

什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

归纳：在初中的时候我们已经知道：若xa，则x叫做a的平方根.同理，若xa，则x叫做a的立方根.

根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.

二、新课讲解

类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.

n次方根：一般地，若xa，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用na表示，如果是负数，用na表示，na＊23n叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号na表示，其中n称为根指数，a为被开方数.

类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？

nn为奇数, a的n次方根有一个,为aa为正数:

nn为偶数, a的n次方根有两个,为a中学学科网学科精品系列资料

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n为奇数, a的n次方根只有一个,为naa为负数:

n为偶数, a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为n00

举例：16的次方根为2，27的5次方根为527等等，而27的4次方根不存在.

小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.

根据n次方根的意义，可得：

(na)na

(na)na肯定成立，nan表示an的n次方根，等式nana一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？

让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.

通过探究得到：n为奇数，nana

n为偶数, na,a0

an|a|a,a03如3(3)3273,4(8)4|8|8

小结：当n为偶数时，nan化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：

例题：求下列各式的值

（1）(1)3(8)3

(2)(10)2

(3)4(34

)

(4)a(b2)

nn分析：当n为偶数时，应先写a|a|，然后再去绝对值.

nnn思考：a(na)是否成立，举例说明.

课堂练习：1.

求出下列各式的值

7

(1)7(2)(2)3(3a3)3(a1)(3)(3a3)4

422．若a2a1a1,求a的取值范围.

3．计算3(8)4(32)3(23)

三．归纳小结：

1．根式的概念：若n＞1且nN，则x是a的n次方根,n为奇数时,x=na,

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*343

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n为偶数时，xna；

2．掌握两个公式：n为奇数时,(na)n,n为偶数时,nan|a|3．作业：P69习题2.1

A组

第1题

a(a0)

a(a0)第二课时

提问：

1．习初中时的整数指数幂，运算性质？

anaaaa,a01(a0),00无意义

an1an(a0)

amanamn;(am)namn

(an)mamn,(ab)nanbn

什么叫实数？

有理数，无理数统称实数.

2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0 ①

③

5a(a)aa

②

5124343124510252105a(a)aa

1058424824a(a)aa

④a(a)aa

252105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.

根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：

3aa(a0)

bb(b0)

122234cc(c0)

nmmn*554即：aa(a0,nN,n1)

为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：

mnanam(a0,m,nN*)

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

即：amn1amn(a0,m,nN*)

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规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是aaaa(a0)

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

（1）arasars(a0,r,sQ)

（2）(ar)Sars(a0,r,sQ)

（3）(ab)rarbr(Q0,b0,rQ)

若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.

即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.

所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，5的近似值从小于5的方向逼近22nm1m1m1m52.

当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，52的近似值从大于52的方向逼近52，(如课本图所示)

所以，5是一个确定的实数.

一般来说，无理数指数幂a(a0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.

思考：2的含义是什么？

由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：

32parasars(a0,rR,sR)

(ar)sars(a0,rR,sR)

(ab)rarbr(a0,rR)

3．例题

（1）．（P60，例2）求值

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23233323解：①

8(2)2

②

2512224

12()2(5)2125511

5

③

()125(21)521(5)32

34()16322327④()4()4()

81338（2）．（P60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）

解：a.aaaa

a

a32322233312312a

2372aaaa132a

413223

83aaaa(a)a43

分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.

课堂练习：P63练习

第

1，2，3，4题

补充练习：

1(2n1)2()2n121.

计算：的结果

n248a1012.

若a33,a10384,求a3[()7]n3的值

a3小结：

1．分数指数是根式的另一种写法.

2．无理数指数幂表示一个确定的实数.

3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.

作业：P69

习题

2.1

第2题

第三课时

一．教学目标

1．知识与技能：

（1）掌握根式与分数指数幂互化；

（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.

2．过程与方法：

通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.

3．情感、态度、价值观

（1）培养学生观察、分析问题的能力；

（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

二．重点、难点：

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1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.

2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.

三．学法与教具：

1．学法：讲授法、讨论法.

2．教具：投影仪

四．教学设想：

1．复习分数指数幂的概念与其性质

2．例题讲解

例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）(2ab)(6ab)(3ab)

（2）(mn)

（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）

分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.

整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.

我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？

其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.

第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.

解：（1）原式=[2(6)(3)]a

=4ab

=4a

（2）原式=(m)(n)

=mn

例2．（P61

例5）计算下列各式

（1）(325125)425

（2）23023121213165614388211326b115236

148388a2a.a32(a＞0）

分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.

解：（1）原式= (25125)25

= (55)5

233212131214中学学科网学科精品系列资料

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2132163122

= 55

= 55

= （2）原式=655

23a2aa12a12223a6a5

56小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.

课堂练习：

化简：

（1）(9)(10)100

（2）322322

（3）

aa23329252aa

归纳小结：

1．

熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.

2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.

作业：P65

习题2.1 A组

第4题

B组

第2题

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