习题3.2优质课教案

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

11.(2016·厦门模拟)函数f(x)＝2x－x的零点所在的大致区间是(

) 10，A.

21B.2，1

31，C.

23D.2，2

112解析

由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f2＝2－2＜0，f(1)＝211－1＞0，所以函数的零点在区间2，1内. 答案

B 2.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(

) A.0，2

1B.0，2

1C.0，－2

1

D.2，－2

解析

由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x).令g(x)＝0，得1x1＝0，x2＝－2. 答案

C 1x3.(2015·周口二模)已知函数f(x)＝5－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(

) A.恒为正值

B.等于0

C.恒为负值

D.不大于0 1x解析

注意到函数f(x)＝5－log3x在(0，＋∞)上是减函数，因此当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0).又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即此时f(x1)的值恒为正值，选A. 答案

A 4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(

) A.10

B.11

C.13

D.21

解析

设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）100100*＝x＋＋1.5(x∈N)，由基本不等式得y＝x＋xxx＋1.5≥2 A.

答案

A 5.若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为(

) A.0

1B.－4

1C.0或－4

D.2 100100x·x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝x，即x＝10时取等号，所以选解析

当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；

当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二1次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－4.

1综上，当a＝0或a＝－4时，函数仅有一个零点.

答案

C 二、填空题

xπ6.(2015·湖北卷)函数f(x)＝4cos22cos－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为2________. 解析

f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x＞－1，函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|(x＞－1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点.

答案

2 7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部

分)，则其边长x为________m.

x40－y解析

设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得40＝40，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.

答案

20 x2－1，x＞0，8.已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m－x－2x，x≤0，的取值范围是________. x2－1，x＞0，解析

画出f(x)＝2的图象，如图.由函数g(x)＝f(x)－m有3个零－x－2x，x≤0点，结合图象得0＜m＜1，即m∈(0，1).

答案

(0，1) 三、解答题

9.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围. 解

由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)f（－1）＝2>0，m∈R，51和(1，2)内，如图所示，得⇒1即－605m>－6.

f（0）＝2m＋1<0，15故m的取值范围是－6，－2. 1m<－2，

10.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；

(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

解

设该店月利润余额为L元，

则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，(*) －2P＋50

（14≤P≤20），由销量图易得Q＝3

－P＋40

（20＜P≤26），2（－2P＋50）（P－14）×100－5 600 （14≤P≤20），代入*式得L＝3

－P＋40（P－14）×100－5 600（20＜P≤26），2(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；

1 25061当20＜P≤26时，Lmax＝3元，此时P＝3元. 故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元. (2)设可在n年后脱贫，

依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫.

能力提升题组

(建议用时：20分钟) 11.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(

) A.略有盈利

C.没有盈利也没有亏损

B.略有亏损

D.无法判断盈亏情况

解析

设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损. 答案

B 112.(2016·合肥模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间2，3上有零点，则实数a的取值范围是(

) A.(2，＋∞)

5C.2，2



B.[2，＋∞) 10D.2，3

115a解析

当f2·f(3)＜0时，函数在区间2，3上有且仅有一个零点，即4－2(10Δ＝a－4≥0，5101－3a)＜0，解得2＜a＜3；当时，函数在区间2，3上有一1f2＞0，f（3）＞021a2＜2＜3，551个或两个零点，解得2≤a＜2；当a＝2时，函数的零点为2和2，符合题意；10101当a＝3时，函数的零点为3或3，不符合题意.综上a的取值范围是2，3，故选D. 答案

D 0，0＜x≤1，13.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝2则方程|f(x)＋|x－4|－2，x＞1，

g(x)|＝1实根的个数为________. 1解析

当0＜x≤1时，方程为－ln x＝1，解得x＝e；

当1＜x＜2时，f(x)＋g(x)＝ln x＋2－x2单调递减，

值域为(ln 2－2，1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，

方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解；

当x≥2时，f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－6单调递增，

值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，

方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解.

综上所述，原方程有4个实根. 答案

4 14.已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝f（x）x－4ln x的零点个数. 解

(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. x2－2x－33(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－xx－4ln x－2(x>0)，

34（x－1）（x－3）∴g′(x)＝1＋x2－x＝. x2令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：

X g′(x)

g(x)

(0，1)

＋

1

0

极大值

(1，3)

－

3

0

极小值

(3，＋∞) ＋

当0

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点. 故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点.