信息技术应用 借助信息技术方程的近似解优秀教学设计

用二分法求方程的近似解

【教学目标】会用二分法求函数零点或方程根的近似解，继续深化对函数方程之间的联系与认识。

【教学重点】用二分法“逐步逼近”的数学思想求方程的近似解. 【教学难点】恰当的使用信息工具.

【教学过程】：

一、复习准备：

1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？

零点存在性定理？

①零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

②方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点

③如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

2. 探究：一元二次方程求根公式？

三次方程？

四次方程？

材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题

二、讲授新课：

1.二分法的“逐步逼近”的数学思想及步骤

①

探究：ylnx2x6的零点所在区间？如何找出这个零点？

→

师生用二分法探索

f (2)<0,

f (3)>0

=〉

在（2，3）内有零点，

f (2.5)≈-0.084 <0

=〉

在（2.5，3）内有零点

f (2.75) ≈0.512>0

=〉在（2.5，2.75）内有零点

…………

…………

②

定义二分法的思想：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。

◆给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：

(1)．确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精度ε；

(2). 求区间(a,b)的中点x1, 计算f(x1)；

(3). 若f(x1)0，则x1就是函数的零点；

若f(a)f(x1)0，则令bx1（此时零点x0(a,x1)）；

若f(b)f(x1)0，则令ax1（此时零点x0(x1,b)）；

(4). 判断是否达到精度ε；即若|ab|，则得到零点(a,b)；否则重复步骤(2)~(4)．

2. 教学例题：

题组: (1)．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为

(

) x ex

x＋2

－1

0.37

1

0

1

2

1

2.72

3

2

7.39

4

3 20.09 5

119185422.doc

2--2 A.(－1,0)

B．(0,1) C．(1,2)

D．(2,3) (2)．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________；第二次应计算________，以上横线上应填的内容为

(

) A．(0,0.5)，f(0.25)

C．(0.5,1)，f(0.75)

B．(0,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125) (3)．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．

(4)．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．

例：下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（

）

答案：B

例：借助计算器或计算机用二分法求方程f(x)2x3x7的近似解. （师生共练）

练习：求函数f(x)x3x22x2的一个正数零点（精确到0.1）

3. 巩固练习：

(1)．求方程log3xx3的解的个数及其大致所在区间. (2)．求方程的实数解个数：0.9x0.1x0；log0.3x0.3x