习题1.2名师教学视频（文字实录）

函数的定义域和解析式

一

、求函数的定义域

[例1]

(1)函数f(x)＝x－2＋lg(3－x)的定义域是( ) A．(3，＋∞) B．(2，3) C．[2，3)

D．(2，＋∞) f（3x）(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)＝x－1的定义域是( ) 3xA．[0，1) B．[0，1] C．[0，1)∪(1，9] D．(0，1) 解析：(1)由题意得3－x＞0，解得2＜x＜3，故选B.

(2)依题意得x－1≠0，即0≤x＜1，因此函数g(x)的定义域是[0，1)，故选A.

（变式训练，培养学生应变能力。）

0≤3x≤3，x－2＞0，1．将本例(1)的函数改为f(x)＝＋lg(3－x)，其定义域如何选？

解析：3－x＞0得x＜3，故选C.

2．若本例(2)的条件不变，求g(x)＝（x－1）0的定义域．

解析：x－1≠0，∴2，

定义域为[0，1)∪(1，2]．

二、

求函数的解析式

[例2]

(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．

(2)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．

(3)已知函数f(x)满足f(x)＝2fx＋x，求f(x)的解析式．

解析：(1)法一：设t＝＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，

∴f(＋1)＝(＋1)2－1，

∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝130≤2x≤3f（2x）x－2≥0x≥2

a2＝4，a＝－2，

a＝2，4x＋3，∴ab＋b＝3，解得b＝－3或b＝1.故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.

(3)由f(x)＝2fx＋x①，得fx＝2f(x)＋x②，

①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋x，

则f(x)＝－3x－3x. 答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1)

(2)f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1

(3)见解析

212111求函数解析式的四个方法

方法

解读

由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将配凑法

F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式

对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，可令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出换元法

f(t)，得到关于t的解析式，再形如y＝f(g(x))的函数解析式

将t换成x，得到f(x)的解析式，此时自变量x的定义域就是t＝g(x)的值域

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或待定系数法

将已知条件代入，建立方程已知所求曲线的种类和函数解析(组)，通过解方程(组)求出相应式的具体形式

的待定系数，从而得到所求函数的解析式

形如y＝f(g(x))的函数解析式

适合题型

已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替解方程组法

两边的所有x，得到关于f(x)及1已知关于f(x)与fx或f(x)与f(－x)f(φ(x))的方程组，解之即可得出的表达式

f(x)

（同源异考，触类旁通。）

1．如果fx＝1－x，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( ) 111A.x

B.x－1

C.1－x

1D.x－1 1x11111解析：令t＝x，得x＝t，∴f(t)＝t＝t－1，∴f(x)＝x－1. 答案：B

2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．

解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，

即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，

a＝2，a＝2，∴b＋5a＝17，解得b＝7，∴f(x)＝2x＋7. 答案：2x＋7

3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2fx·－1，则f(x)＝________．

解析：在f(x)＝2fx－1中，用x代替x，得fx＝2f(x)x－1，将fx＝代入f(x)＝2fx－1中，可求得f(x)＝3＋3. 答案：3＋3

三、

分段函数及应用

角度1

已知自变量求函数值

，x＞2，[例3]

(1)(2019·合肥一模)已知函数f(x)＝x2＋2，x≤2，则f[f(1)]＝( ) 1A．－2

B．2 12121111112f（x）x－1

1C．4

D．11 ，x＞2，1解析：∵函数f(x)＝x2＋2，x≤2，∴f(1)＝12＋2＝3，∴f[f(1)]＝f(3)＝3＋3－2＝4.

故选C. 答案：C

(2)(2018·高考江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝，－2＜x≤0，则f(f(15))的值为________．

解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝2＝2，所以f(f(15))＝f(2)＝cos 4＝2. 答案：2

111π221对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，代入相应的解析式直接求解．其关键点为：

(1)判断，判断所给自变量符合哪个解析式；

(2)转化，若所给自变量都不属于所给区间或所给区间的解析式不确定，要进行转化；

(3)求值，对形如f(g(x))型的求值，遵循由里向外求解；

(4)结论. 角度2

给定函数值求自变量

π1[例4]

(1)已知f(x)＝，若f(a)＝2，则a＝__________．

111解析：若a≥0，由f(a)＝2得，a2＝2，

解得a＝4；

若a<0，则|sin a|＝2，a∈，0，

解得a＝－6.综上可知，a＝4或－6. 答案：4或－6

(2)已知函数f(x)＝－log2（x＋1），x＞1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________．

解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；

当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，

2x－2，x≤1，1ππ1π1π1

得a＋1＝8，

解得a＝7，

所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－2.

答案：－2

33若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，利用函数值构造方程．其关键点为：

(1)讨论，对所求自变量分段讨论，得出相应函数值；

(2)解方程，由函数值相等构造方程，并解方程；

(3)得结论，将符合自变量相应范围的解写出来.